Какие из перечисленных дробей равны

Разложим уравнение на множители.
Выделяем множитель  из :

Вычтем  из  и получим :

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен 0, то и все выражение будет равняться 0:


Приравняем первый множитель к 0 и решим.
Приравниваем первый множитель к 0:

Поскольку 6 не содержит искомую переменную, переместим его в правую часть уравнения, вычитая 6 из обоих частей:

Приравняем следующий множитель к 0 и решим.
Приравниваем следующий коэффициент к 0:

Поскольку  не содержит искомой переменной, переместим его в правую часть уравнения, прибавив 9 к обоим частям:

Итоговым решением являются все значения, обращающие  в верное тождество:

Пусть b1,b2,,bn, - члены прогрессии, а q - её знаменатель. Сумма прогрессии S=b1/(1-q). По условию, b1/(1-q)=6. Одновременно по условию S1=b1²+b2²++bn²+=12. Но S=b1*(1+q+q²+q³), а S1=b1²*(1+q²+q⁴+q⁶+). Получена система уравнений:

b1*(1+q+q²+q³)=6
b1²*(1+q²+q⁴+q⁶+)=12

Возведём первое уравнение в квадрат:

b1²*(1+q+q²+q³)²=36
b1²*(1+q²+q⁴+q⁶+)=12

Разделив теперь первое уравнение на второе, придём к уравнению относительно q: (1+q+q²+q³+)²/(1+q²+q⁴+q⁶+)=3. Но в скобках числителя  - бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q, её сумма S2=1/(1-q). В скобках знаменателя - бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q², её сумма S3=1/(1-q²). Отсюда следует уравнение (1-q²)/(1-q)²=3, которое приводится к квадратному уравнению 2*q²-3*q+1=0. Решая его, находим q1=1 и q2=1/2. Но при q=1 сумма прогрессии была бы равна бесконечности, поэтому q=1/2. ответ: 1/2.