Найдите значения a и m, при которых выполняется равенство 2x3 + 9x2 + a = (mx – 3)(x + 3)2. Найдите сумму a + m.

Объяснение:

2х³+9х²+а=(mx-3)(x+3)²

(mx-3)(x+3)²=

(mx-3)(x²+6x+9)=

mx³-3x²+6mx²-18x+9mx-27=

mx³+x²(6m-3)+x(9m-18)-27

m=2

a=-27

m+a=-25

Ищется также, как локальные минимумы и максимумы.
1) Находим точки, где производная от функции не определена.
2) Находим точки, где производная от функции равна 0.
3) Вычисляем значения функции во всех этих точках.
4) Сравниваем значения и находим самое большое и самое маленькое.

Примеры:
1) y = |x|. При x < 0 y ' = -1; при x > 0 y ' = 1
При x = 0 производная не определена. y(0) = 0. Это глобальный минимум.
2) y = 18x^4 - 24x^3 - x^2 + 2x + 1
Производная
y ' = 72x^3 - 72x^2 - 2x + 2 = 2(x - 1)(36x^2 - 1) = 2(x - 1)(6x - 1)(6x + 1) = 0
x1 = 1; y(1) = 18 - 24 - 1 + 2 + 1 = -4 - минимум
x2 = -1/6; y(-1/6) = 18/6^4 + 24/6^3 - 1/36 - 2/6 + 1 ~ 0,764
x3 = 1/6; y(1/6) = 18/6^4 - 24/6^3 - 1/36 + 2/6 + 1 ~ 1,2083 - максимум
3) y = x*sin x
Производная
y ' = sin x + x*cos x = 0
Периодическая функция, решения такие:
x ~ -11; -8; -5; -2; 0; 2; 5; 8; 11; ...
Значения:
y(+-11) ~ 2; y(+-8) ~ 1,1; y(+-5) ~ 0,43; y(+-2) ~ 1,8; y(0) = 0
Кажется, здесь глобальных минимума и максимума нет.
Чем больше х по модулю, тем больше у.

b=c=2

Объяснение:

Так как график функции y=x²+b·x+c проходит через точку А(1; 5), то

5=1²+b·1+c ⇔ c=4-b.

Из условия следует, что графики функций y=x²+b·x+c и y=4·x+1 имеют только одну общую точку пересечения А(1;5).

Приравниваем функции:

x²+b·x+c=4·x+1 ⇔ x²+(b-4)·x+(c-1)=0.

По условию последнее квадратное уравнение должен иметь единственное решение, которое возможно если дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

D=(b-4)²-4·1·(c-1)=0 ⇔ (b-4)² = 4·(c-1).

Подставим c=4-b в последнее равенство и находим b:

(b-4)² = 4·(4-b-1) ⇔ b²-8·b+16 = 4·(3-b) ⇔ b²-8·b+16 = 12-4·b ⇔

⇔ b²-4·b+4 = 0 ⇔ (b-2)²=0 ⇔ b = 2.

Тогда

c=4-b=4-2=2.