Студент строительного института за 5 лет учебы сдал 25 экзаменов. в каждом следующем году он сдавал экзаменов больше, чем в предыдущем. сколько было экзаменов на четвертом курсе, если на 5 курсе он сдал в 4 разабольше экзаменов, чем на первом?

пусть  на 1 курсе студет сдал х экзаменов, тогда на  5 курсе он сдал  4х экзаменов.обозначим сумму экзаменов y₁ ,   y₂ , y₃ , которые он сдал  на  2,  3 и 4 курсах через y.

 

              тогда      х + 4х + y  =  25,  где х, y  ∈ z  и      1  < х < 5,        5  ≤ y ≤ 20

 

        5 х + y  =  25

                                      y  =  25  - 5 х

                                      y  =    5 (5  - х)        =>     y ÷  5  =>     y∈{ 5 ; 10  ;   15 ;   20}

итак, ещё раз посмотрим, какими могут быть х  и y:

                                        1  < х < 5  ,     y∈{ 5 ; 10  ;   15 ;   20}.

пусть х=2 (1 курс) , тогда,  4х = 8 (5 курс), тогда  y  =    5 (5  - 2) = 15.

                                                                    т.е.  y₁ + y₂  + y₃ = 15,   

  причем  y₁  < y₂  < y₃    и    y₁ ,   y₂ , y₃  больше 2 и меньше 8.

такими числами могут быть только 3,  5  и 7.

т.о. распределение экзаменов по курсам:

                                          1 курс  -  2

                                          2 курс  -  3

                                          3 курс  -  5

                                          4 курс  -  7

                                          5 курс  -  8

проверка:   2  < 3  < 5  < 7  < 8       (верно)     

                                5 курс  -  8,  1 курс  -  2  ->   8: 2 = 4  (верно)

                                    2 + 3 + 5 + 7 + 8 = 25 (верно)

ответ:     на четвертом курсе студент сдал  7 экзаменов.

 

 

 

1а)(6/5)^x< (6/5)^-1 x< -1 x∈(-∞; -1) проверка х=-2 (6/5)^-2=25/36 25/36< 5/6 (5/6=30/36) б)(0,4)^(9-x²)≤1 основание меньше 1,знак меняется 9-x²≥0 (3-x)(3=x)≥0 x=3  x=-3               _                    +                      _ - x∈[-3; 3] проверка х=3 (0,4)^0=1 1≤1 2 {x-y=1/*3⇒3x-3y=3 {2x-3y=1 отнимкм x=2 2-y=1 y=2-1 y=1 ответ (2; 1) 3 3^x=2x+1 y=3^x x    -1      0      1      2 y    1/3    1      3      9 y=2x+1 x    0      1 y    1      3 ответ x=0; x=1

Т.к. модуль неотрицателен, 3x - 1 > = 0, x > = 1/3. если обе части уравнения неотрицательны, можно возвести в квадрат, новых корней при этом не возникнет. заодно пользуемся тем, что ||^2 = : (x^2 + 5x - 4)^2 = (3x - 1)^2 (x^2 + 5x - 4)^2 - (3x - 1)^2 = 0 раскладываем по формуле разности квадратов: (x^2 + 5x - 4 - 3x + 1)(x^2 + 5x - 4 + 3x - 1) = 0 (x^2 + 2x - 3)(x^2 + 8x - 5) = 0 у первой скобки корни -3, 1 (легко угадать, пользуясь теоремой виета). у второй скобки корни найдем, выделив полный квадрат: x^2 + 8x - 5 = 0 x^2 + 8x + 16 = 16 + 5 (x + 4)^2 = 21 x = -4 +- sqrt(21) нужны корни, которые не меньше 1/3. у первой скобки это 1, у второй - точно не -4 - sqrt(21) < 0 и возможно -4 + sqrt(21). сравним -4 + sqrt(21) и 1/3. обозначим неизвестный значок за v и попереписываем: -4 + sqrt(21) v 1/3 sqrt(21) v 1/3 + 4 sqrt(21) v 13/3 3 sqrt(21) v 13 sqrt(183) v sqrt(169) - отсюда ясно, что v = '> ', -4 + sqrt(21) > 1/3. получается, у уравнения есть два корня x = 1 и x = -4 + sqrt(21). ответ. sqrt(21) - 3. p.s. можно было не сравнивать sqrt(21) - 4 и 1/3, а поступить иначе. заметим, что график y = x^2 + 8x - 5 - квадратичная парабола, ветви направлены вверх, ось симметрии x = -4. тогда если y(1/3) < 0, то больший корень будет больше 1/3.