NikolayGoncharov

22.12.2022

?>

Найти область сходимости ряда.

Ответить

Ответы

yda659

22.12.2022

Итак, у нас есть ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(x-4)^{2n-1}}{2n-1}$ .

Вычислим $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \bigg|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\bigg| = \lim_{n\to +\infty} \bigg|\frac{\frac{(x-4)^{2(n+1)-1}}{2(n+1)-1}}{\frac{(x-4)^{2n-1}}{2n-1}}\bigg|= \lim_{n\to +\infty}\bigg|\frac{2n-1}{2n+1}\cdot \frac{(x-4)^{2n+1}}{(x-4)^{2n-1}}\bigg| = \\=\lim_{n\to+\infty}|\frac{2-\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}\cdot (x-4)^{2n+1-2n+1}|=|x-4|^2=(x-4)^2$

Вот это уже хорошо. Нужно, чтобы это выражение было меньше единицы (это из признака Даламбера), тогда мы найдем те самые х, при которых ряд будет сходиться.

(x-4)^2

Вот мы их получили. Но теперь нужно проверить концы: $x=3; \:x=5$

$\displaystyle x=3: \ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1}=\sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{2n-1}$

Что можно сказать об этом ряде? Допустим, мы будем использовать предельный признак сравнения. Есть известный ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ , он расходится, при этом предел отношения n-ых членов полученного ряда и приведенного не равен 0, а равен конкретной константе (-1/2, если делить n-ый член полученного на n-ый член ряда 1/n), так что при x=3 ряд расходится.

Аналогичная история $\displaystyle x=5: \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1^{2n-1}}{2n-1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}$

Все те же рассуждения, только предел отношения будет равен 1/2. То есть при x=5 ряд расходится.

ответ: $\boxed{x\in(3;5)}$

Карапетян

22.12.2022

Предположим, что х часов - это время работы первой бригады, тогда (х+4) часа - время работы второй бригады, примем всю работу за 1

согласно этим данным составим и решим уравнение для совместной работы:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{5}{24}$ /·24x(x+4)

24(x+4)+24x=5x(x+4)

$24x+96+24x=5x^{2}+20x$

$48x+96=5x^{2}+20x$

$5x^{2}+(20x-48x)-96=0$

$5x^{2}-28x-96=0$

Cчитаем дискриминант:

$D=(-28)^{2}-4\cdot5\cdot(-96)=784+1920=2704$

Дискриминант положительный

$\sqrt{D}=52$

Уравнение имеет два различных корня:

$x_{1}=\frac{28+52}{2\cdot5}=\frac{80}{10}=8$

$x_{2}=\frac{28-52}{2\cdot5}=\frac{-24}{10}=-2,4$

не удовлетворяет условию задачи, так как отрицательное время быть не может

х=8 (ч) - I бригада.

х+4=8+4=12 (ч) - II бригада.

Следовательно первая бригада заасфальтирует участок дороги за 8 часов, а вторая за 12 часов.

nunabat457

22.12.2022

Предположим, что х часов - это время работы первой бригады, тогда (х+4) часа - время работы второй бригады, примем всю работу за 1

согласно этим данным составим и решим уравнение для совместной работы:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{5}{24}$ /·24x(x+4)

24(x+4)+24x=5x(x+4)

$24x+96+24x=5x^{2}+20x$

$48x+96=5x^{2}+20x$

$5x^{2}+(20x-48x)-96=0$

$5x^{2}-28x-96=0$

Cчитаем дискриминант:

$D=(-28)^{2}-4\cdot5\cdot(-96)=784+1920=2704$

Дискриминант положительный

$\sqrt{D}=52$

Уравнение имеет два различных корня:

$x_{1}=\frac{28+52}{2\cdot5}=\frac{80}{10}=8$

$x_{2}=\frac{28-52}{2\cdot5}=\frac{-24}{10}=-2,4$

не удовлетворяет условию задачи, так как отрицательное время быть не может

х=8 (ч) - I бригада.

х+4=8+4=12 (ч) - II бригада.

Следовательно, первая бригада заасфальтирует участок дороги за 8 часов, а вторая за 12 часов.

Ответить на вопрос

Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:

Найти область сходимости ряда.

▲