Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y=2sinx+sin2x на отрезке [0; 3/2пи]

y'=2cosx+2cos2x=0

2cosx+2(2cos^2x-1)=0

4cos^2x+2cosx-2=0

2cos^2x+cosx-1=0

cosx=-1    x=п

cosx=1/2 х=п/3

y(0)=0

y(3/2п)=-2 минимум

y(п/3)=sqrt(3)+sqrt(3)/2 максимум

y(п)=0

 

 

 

1. найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс, для чего приравняем нулю значение функции. f(x)=0; x³-3x=0; x(x²-3)=0 ⇒ x1=0; x2=-√3; x3=√3 три точки разобьют числовую ось на 4 отрезка; проверим знак f(x) на каждом из них. -∞ √3 ++++++ 0 √3 +++++++ +∞ видно, что функция трижды меняет знак. 2. найдем первую производную f(x) и приравняем её нулю. решение полученного уравнения даст точки локальных экстремумов. f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1); f'(x)=0; ⇒ x1=-1, x2=1 3. найдем вторую производную f''(x) и приравняем её нулю. найденные корни уравнения дадут точки, где функция имеет перегиб. вычислив значение f''(x) при х=0 и х=1/3, определим минимум или максимум достигается в точке. f''(x)=6x-1; f''(x)=0; 6x-1=0 ⇒ x=1/6 - точка перегиба. f''(-1)=-7 < 0 т.е функция в этой точке имеет максимум и выпуклая. f''(1)=6-1=5 > 0, т.е функция имеет минимум и вогнутая. -∞ -1 1 +∞     возрастает        убывает            возрастает

Направим из точки а в точку в вектор и обозначим его с, поскольку он лежит напротив точки с. аналогично вектор, направленный из точки а в точку с обозначим b. найдем координаты этих векторов. получили определим косинус угла между этими векторами: в знаменателе произведение модулей, которое всегда имеет положительное значение, следовательно значение дроби будет отрицательным. косинус на отрезке [0; π] имеет отрицательное значение в области (π/2; π), следовательно угол а - тупой. поэтому треугольник авс - тупоугольный.