Для школы приобрели футбольные и теннисные мячи, причём теннисных в 4 раз больше, чем футбольных. Через 5 лет приобрели новую партию мячей, причём футбольных стало в 7 раз больше, чем было, а теннисных — в 4 раза больше, чем было. Всего мячей стало 46. Сколько закупили мячей сначала? Пусть футбольных мячей и теннисных мячей закупили сначала.

ответ: Нехай x грн коштує одна ручка, а один зошит y коп., тоді маємо 8x+4y=680;

Оскільки ручка подешевшала на 15%=15%/100%=0,15грн=15 коп., то ціна її стала (x-15) коп.

Аналогічно, оскільки зошит подорожчав на 10%=10/100=0,1 грн=10 коп., то ціна його стала (y+10) кор. Якщо за одну ручку та один зошит заплатили 1 грн 11 коп.=111 коп., то маємо ще одне рівняння

(x-15)+(y+10)=111

x-15+y+10=111

x+y=111-10+15

x+y=116

Змінні x і y в обох рівняннях позначають ті самі ціни. Отже, потрібно розв'язати систему цих двох рівнянь:

{8x+4y=680 {8x+4y=680

{x+y=116|×-4 {-4x-4y=-464

4x=216

x=54

54+y=116

y=116-54

y=62

Перевірка: {8×54+4×62=432+248=680

{54+62=116

(54-15)+(62+10)=111

В-дь:початкова ціна однієї ручки 54 коп.; початкова ціна одного зошита 62 коп.;

P.S. Т. Ростислав

Решение:

Итак, мы ищем площадь фигуры, ограниченной линиями , , и . Чертеж представлен ниже.

На чертеже видно, что на отрезке сверху может быть как и кривая , так и прямая . Поэтому можно посчитать интеграл на двух промежутках, а полученные значения сложить (таков один из возможных

Напоминаю также формулу Ньютона-Лейбница (и то, что "первообразная от косинуса равна синусу"):

Первый промежуток: . Кривая выше прямой, поэтому . Нижний и верхний пределы - и соответственно.

Второй промежуток: . Так как такая точка, в которой косинус меняет свой знак, то и . Имеем следующее (по идее, вторая площадь равна первой из-за периодичности косинуса, но проверить это тоже невредно):

Значит, и вся площадь равна:

Задача решена!

ответ: 4.