На рисунке изображен график функции у = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0 = -1 .

Производная равна тангенсу угла наклона касательной.

По графику определяем - это (5-3)/(0-(-1)) = 2 ( это Δу/Δх).

ответ: производная в точке х = -1 равна 2.

Х км/ч - скорость первого лыжника
у км/ч - скорость второго лыжника
6 мин = 6/60 = 0,1 часа
3/у часа - время второго лыжника, за которое он проехал 3 км
3/х = 3/у + 0,1 часа - время первого лыжника, за которое он проехал 3 км
4,6 - 3 = 1,6 км проехал первый лыжник до второй встречи со вторым лыжником
5 - 3 + (5 - 4,6) = 2,4 км проехал второй лыжник до второй встречи с первым лыжником
Время, затраченное до второй встречи одинаковое. Составляем систему уравнений и решаем:



y = 15 км/ч - скорость второго лыжника

км/ч - скорость первого лыжника

Согласно общепринятому определению, Выпуклость и вогнутость, свойство графика функции у = f (x) (кривой), заключающееся в том, что каждая дуга кривой лежит не выше (не ниже) своей хорды; в первом случае график функции f (x) обращён выпуклостью книзу (вогнутостью кверху) и сама функция называется выпуклой , во втором - график обращён вогнутостью книзу (выпуклостью кверху) и функция называется вогнутой . Если существуют производные f ¢(x) и f ²(х), то первый случай имеет место при условии, что f ²(x) ³ 0, а второй при f ²(x) £ 0 (во всех точках рассматриваемого промежутка). Выпуклость (книзу) можно охарактеризовать также тем, что дуга кривой лежит не ниже касательной, в окрестности любой своей точки, а вогнутость (книзу) - тем, что дуга кривой лежит не выше касательной  Аналогично определяются В. и в. поверхности.