3. Решите систему уравнений: x^2+xy=6 xy+y^2=30 дайте решение X ∈ ( ; ) ∪ ( ; )

....................................

f(x)=e^6x-x^2+5

Функція буде зростати на відрізках, де її похідна має додатні значення.

Знаходимо похідну:

f'(x) = 6e^6x-2x ; ця функція неперервна.

Знайдемо точки екстремуму через похідну другого порядку:

f''(x) = 36e^6x-2

36e^6x-2 = 0

18e^6x = 1

6x = ln(1/18)

x = ln(1/18)/6

Дізнаємось знак похідної на точці екстремума:

6e^(6(ln(1/18)/6)) - 2(ln(1/18)/6) = 6e^(ln(1/18)) - (ln(1/18)/3) = 6*1/18 - (ln(1/18)/3) = 1/3 - (ln(1/18)/3) ; ln(1/18) має відємне значення, тому загальний вираз буде додатнім.

Розглянемо похідну на 2 довільних точках по обидві сторони від точки екстремума:

х=0

f'(x) = 6e^(6*0)-2*0 = 6е - значення додатнє

х=-10

f'(x) = 6e^(6*(-10))-2*(-10) = 6e^(-60)+20 = 6/e^60+20 - значення також додатнє

Отже, функція зростає на всій області визначення, крім точки ln(1/18)/6

При условии , что  автомобили ехали в одном направлении и  выехали одновременно.
II  авто :
Скорость  V1= х  км/ч
Расстояние  S=560 км
Время в пути t1= 560/х    ч.

I авто:
Скорость  V1= (х+10)  км/ч
Расстояние  S= 560  км
Время в пути   t2= 560/(х+10)   ч.
Время в пути второго авто больше на 1 час  ( t2-t1=1).
Уравнение.
560/х  -  560/(х+10)=1
560(х+10)   - 560х = 1 * х(х+10)
560х +5600  -560х = х²+10х
х²+10х - 5600 =0
D= 100 -  4*(-5600) = 100+22400=22500
D>0 - два корня уравнения , √D= 150
x₁= (-10-150)/2 = -160/2=-80   - не удовл. условию задачи
x₂= (-10+150)/2 = 140/2 =70  (км/ч) - скорость  II авто
70+10=80 (км/ч) скорость I авто.

ответ:  V1= 80 км/ч,    V2= 70 км/ч.