Докажите тождество: (a/a^2-25 - a-8/a^2-10a+25)

Такое уравнение называется возвратным. Оно может быть решено  сведением к однородному уравнению.  Итак, начинаем: 



Для облегчения понимания можно уравнение поделить на , естественно, убедившись перед этим, что  и сделав замену  Получившееся квадратное уравнение имеет два действительных, но противных корня, которые даже лень выписывать. Обозначим эти корни через p и q,  для поиска x получаем два уравнения 
корни которых очевидно действительны и различны. Мы сделали самое сложное - доказали, что все корни нашего уравнения действительны (и, кстати, различны - это я говорю на тот случай, если кто-то не привык кратные корни подсчитывать, учитывая их кратность). Теперь, не вычисляя эти гадкие корни, воспользуемся теоремой Виета для многочлена 4-й степени, которая утверждает, что корни этого многочлена удовлетворяют следующим условиям (я буду их выписывать в упрощенном виде, используя то, что у нас старший коэффициент равен 1):

  для многочлена 









Нам потребуются первые два равенства; остальные я написал для коллекции. Имеем:





В нашем случае b=100; c=93, поэтому



ответ: 9814

Разложим знаменатель на множители:

Сумма коэффициентов равна нулю, значит корни уравнения 1 и -1/3.

Интеграл примет вид:

Разложим дробь, стоящую под знаком интеграла, на составляющие:

Дроби равны, знаменатели равны, значит равны и числители:

Многочлены равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях. Составим систему:

Выразим из второго уравнения А:

Подставляем в первое и находим В:

Находим А:

Сумма принимает вид:

Значит, интеграл примет вид:

Для второго слагаемого выполним приведение под знак дифференциала:

Интегрируем:

Упрощаем:

Применим свойство логарифмов: