режде чем остановиться на отдых, водитель проехал420 км, причем часть пути он проехал по шоссе, часть – по грунтовой дороге. Определи, какое расстояние водитель проехал по шоссе, если известно, что в пути он был менее8 часов. Средняя скорость движения по шоссе равна60 км/ч, а средняя скорость по грунтовой дороге –40 км/ч. ответ запиши в виде двойного неравенства

Пусть х км - грунтовая дорога, тогда (420 - х) км - шоссе,

х/40 ч - время движения по грунтовке, (420-х)/60 ч - время движения по шоссе. Время в пути менее 8 часов.

х/40 + (420-х)/60 < 8

Приведём обе части неравенства к общему знаменателю 120

3 · х + 2 · (420 - х) < 8 · 120

3х + 840 - 2х < 960

3x - 2x < 960 - 840

x < 120 (км) - грунтовая дорога

420 - 120 = 300 (км) - шоссе

ответ: 120 < x < 300.

В решении.

Объяснение:

2) Пусть аn есть арифметическая прогрессия. Если а1=-10 и а3=-4, с характеристического свойства найдите а2. Определите значение девятого члена прогрессии.

а) а₁ = -10;

а₃ = -4;

а₂ = ?

а₂ = (а₁ + а₃)/2

а₂ = (-10 - 4)/2

а₂ = -14/2

а₂ = -7;

б) a₉ = ?

an = a₁ + d(n - 1);

а₉ = а₁ + d(n - 1);

Найти d:

d = a₂ - a₁;

d = -7 - (-10)

d = -7 + 10

d = 3;

а₉ = а₁ + d(n - 1);

а₉ = (-10) + 3(9 - 1)

а₉ = (-10) + 24

а₉ = 14.

3) в арифметической прогрессии (аn) известно, что d=2,a1=5. Найти s13.

а₁ = 5;

d = 2;

S₁₃ = ?

Формула:

Sn = ((2a₁ + d(n - 1))/2 * n

S₁₃ = (2 * 5 + 2 * 12)/2 * 13

S₁₃ = (10 + 24)/2 * 13

S₁₃ = 17 * 13

S₁₃ = 221.

Даны вершины A(1; -3; 1), B(4; 3; 9), C(2; -6; -3), D(1; 4; 2).

Вычислить:

1) длину ребра АВ.

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Находим координаты вектора АВ по точкам A(1; -3; 1), B(4; 3; 9).

АВ = (4-1; 3-(-3); 9-1) = (3; 6; 8).

Длина BC = √(3² + 6² + 8²)  = √(9 + 36 + 64) = √109.

2) уравнение прямой АВ.

Для уравнения прямой АВ используем точку А(1; -3; 1) и направляющий вектор АВ = (3; 6; 8).

Получаем уравнение АВ: (x - 1)/3 = (y + 3)/6 = (z – 1)/8.

3) уравнение плоскости АВС. Точки A(1; -3; 1), B(4; 3; 9), C(2; -6; -3).

Находим векторы АB и АC.

Вектор АВ найден: АB = (3; 6; 8).

АC = (2-1; -6-(-3); -3-1) = (1; -3; -4).

Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC.

i         j        k|        i         j

3        6       8|        3       6

1       -3      -4|       1      -3 = -24i + 8j - 9k + 12j + 24i - 6k =

                                          = 0i + 20j - 15k.

Нормальный вектор плоскости АBC равен (0; 20; -15).

Подставляем найденные координаты нормального вектора в уравнение плоскости, проходящей через точку А:

(x − 1)⋅0 + (y + 3)⋅20 + (z−1)⋅(-15) = 0.

20y - 15z + 75 = 0.

Уравнение АBC: 20y - 15z + 75 = 0.

4) угол наклона прямой AD к плоскости АВС. Точки A(1; -3; 1), D(1; 4; 2).

Находим вектор АD: s = (1-1; 4-(-3); 2-1) = (0; 7; 1).

Уравнение АD: (x - 1)/0 = (y + 3)/7 = (z – 1)/1.

Нормальный вектор плоскости АВС q = (0; 20; -15).

Угол между векторами s и q равен углу между прямой и плоскостью:

sin φ = |cos ψ| = | s · q || s |·| q | =

= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |/(√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)) =

= | 0 · 0 + 7 · 20 + 1 · (-15) |/(√(0² + 7² + 1²) · √(0² + 20² + (-15)²)) =

= | 0 + 140 - 15 |/(√(0 + 49 + 1) · √(0 + 400 + 225)) =

= 125/(√50 · √625) =  

= 125/(5√2 ·25) = 125/(125√2) = √2/2  ≈   0.7071.

φ = arcsin(√2/2) = 45°.

5) площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС (оно найдено выше и равно (0; 20; -15)).

Получаем S = (1/2)* √(02 + 202 + (-15)2) = (1/2)* √(0 + 400 + 225) =

= (1/2)√625 =  (1/2)*25 = 12,5 кв. ед.

6) объём тетраэдра равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.

V = (1/6)(ABxAC)*AD.

ABxAC = 0    20    -15

      AD = 0     7       1    

              0 + 140 - 15 = 125.

V = (1/6)*125 = 125/6 ≈ 20,333 куб. ед.

7) уравнение прямой DE перпендикулярной к плоскости АBC; точка D(1; 4; 2).

Направляющим вектором прямой DE является нормальный вектор плоскости АBC, найденный ранее и равный (0; 20; -15).

Уравнение DE: (x - 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15).

8) длину высоты DE.

Длина высоты – это расстояние от точки D до плоскости АВС.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)

Подставим в формулу данные:

d = |0·1 + 20·4 + (-15)·2 + 75|/√(0² + 20² + (-15)²) =  

|0 + 80 - 30 + 75|/√(0 + 400 + 225) =

= 125/√625 = 125/25 = 5.

9) проекцию Е точки D на плоскость АВС.

Для этого надо найти точку пересечения перпендикуляра из точки D к плоскости АВС с самой плоскостью (её уравнение 20y - 15z + 75 = 0).

Уравнение DE тоже найдено: (x - 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15).

Координаты, которые имеет точка Е пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x – 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15).

{0x + 20y -15 z + 75 = 0.

Уравнение прямой представим в параметрическом виде.

((x – 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15) = t,

x – 1 = 0*t = 0,  x = 1,

y – 4 = 20t,       y = 20t + 4,

z – 2 = -15t,      z = -15t + 2.

Подставим переменные в уравнение плоскости 0x+20y-15z+75=0.

0*1 + 20*(20t + 4) – 15*(-15t + 2) + 75 = 0,

0 + 400t + 80 + 225t – 30 + 75 = 0,

625t = -125,

t = -125/625 = -1/5.

Подставим значение t в выражения переменных.

x = 1,

y = 20*(-1/5) + 4 = 0,

z = -15*(-1/5) + 2 = 5.

Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки D и плоскости АВС, она же является проекцией точки D на заданную плоскость.

ответ: Е(1; 0; 5).