Докажите (индукцией), что где a₁, a₂, ..., aₙ -- положительные действительные числа. Указание. Для перехода от n к (n + 1) докажите, что из предполодения об истинности формулы для n следует истинность её для 2n и для (n - 1 Для перехода от n к (n - 1) найдите число x такое, что

Объяснение:

При n=1 верность неравенства очевидна.

При n=2, получаем известное верное неравенство, оно нам понадобится.

Теперь докажем, что из верности неравенство верно для n=m, следует его верность для n=2m.

В самом деле, пусть неравенство верно для n=m. Нам нужно доказать, что тогда верно и неравенство

Так как неравенство верно для n=m (по индуктивному предположению), можем записать такие два неравенства:

Теперь сложим эти неравенства и разделим обе части полученного на 2. Получится вот такое неравенство:

Но использовав неравенство для n=2 получаем:

Тогда и подавно

А теперь, следуя за Коши (который как раз первым доказал это неравенство), заметим, что из доказанного выше следует, что если неравенство верно для (где k - натуральное), то оно верно и для . Действительно, чтобы доказать это, достаточно положить , тогда и неравенство также верно. А так как неравенство верно для n=2, то по индукции отсюда получаем верность неравенства для всех остальных степеней двойки, то есть для чисел вида при любом натуральном . Это утверждение назовём Леммой 1.

Осталось доказать, что из верности неравенства для n=k, следует его верность для n=k-1. Это будет наша Лемма 2.

Ну что же, раз в задании дана такая превосходная подсказка - воспользуемся ей. Найдём такой x, о котором идёт речь в задании. Он выражается из данной в условии формулы очевидным образом, не буду на этом останавливаться:

Теперь пусть неравенство верно для произвольного n=k.

Применим это неравенство к числам :

Что получится в левой части мы знаем - среднее арифметическое чисел . Далее возводим неравенство в степень k и преобразовываем:

Получили как раз неравенство для n=k-1.

Собственно, неравенство можно считать доказанным. Лемма 1 и Лемма 2 решают вопрос для любого n. В самом деле, возьмём произвольное натуральное n. Очевидно, найдётся такое натуральное , что . Неравенство верно для этой степени двойки (Лемма 1). Но оно верно также и для всех натуральных чисел меньших её, это по индукции следует из Леммы 2. Тогда неравенство верно и для нашего произвольно выбранного n.

1) x-y=4                  x=4+y
   x^2-y^2=56           (4+y)(4+y)-y^2=56
                              16+8y+y^2-y^2=56
                               16+8y=56
                                8y=40
                                y=5
5+4=9 9 идёт на ответ
2) (x+y)/2=6                          x+y=12
    (x+y)^2=70+x^2+y^2          12*12=70+x^2+y^2
                                            74=x^2+y^2
                                             x^2=74-y^2
не в ту степь пошёл
3)
(x+x+1)^2=612+x^2+(x+1)^2
4x^2+1=612+2x^2+1
2x^2=612
x^2=306
x=корень из 306
второе число на 1 больше

В тригонометрии если не знаешь, что делать -> используй универсальную тригонометрическую подстановку
sin x = 2t / (t^2 + 1)
cos x = (1 - t^2) / (t^2 + 1)
t = tg(x/2)

Подставляем и сразу домножаем на (t^2 + 1)^2:
10t(t^2 + 1) - 8t(1 - t^2) + 5(1 - t^2)(1 + t^2) = 5(t^2 + 1)^2
2 t - 10 t^2 + 18 t^3 - 10 t^4 = 0
t(5t^3 - 9t^2 + 5t - 1) = 0

Один из корней второй скобки легко угадать, это t = 1. Деля вторую скобку на (t - 1) например, столбиком, узнаём разложение на множители
5t^3 - 9t^2 + 5t - 1 = (t - 1)(5t^2 - 4t + 1)

t(t - 1)(5t^2 - 4t + 1) = 0
t = 0  или  t = 1 (у квадратного трёхчлена корней нет)

tg(x/2) = 0
x/2 = pi*n
x = 2pi*n

tg(x/2) = 1
x/2 = pi/4 + pi*m
x = pi/2 + 2pi*m

ответ. x = 2pi*n, x = pi/2 + 2pi*m.