Дана функция y=x^2-x^3. найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции б) точки экстремума

дана функция y=x^2-x^3.

для определения промежутков возрастания и убывания функции   и

точек экстремума находим производную заданной функции.

y' = 2x -3x² = x(2 - 3x). приравниваем нулю:

x(2 - 3x) = 0. отсюда первый корень х = 0.

далее: 2 - 3x = 0,   x = 2/3.

найдены критические точки, которые могут быть экстремумами:

х_1 = 0 и   х_2 = √(2/3).

определяем их свойства по знакам производной:

х =   -1       0       0,5       (2/3)         1    

y' = -5 0 0,25 0       -1 .     получаем ответ:

а) промежуток возрастания (производная положительна) (0; 2/3),

промежутки убывания функции   (-∞; 0) и ((2/3); +∞).

б) точки экстремума: максимум ((2/3); 0,148148) и минимум (0; 0).

1. x² + 3x + 2 = x² + 2x + 1 + x + 1 = (x² + 2x + 1) + (x + 1) = (x + 1)² + (x + 1) = (x + 1)(x + 1 + 1) = (x + 1)(x + 2).

Можно разложить на множители и с теоремы:

ах² + bx + c = a(x - x1)(x - x2), где х1 и х2 - корни квадратного трёхчлена.

2. (с - а)(с + а) - b(b - 2a) = c² - a² - b² + 2ab = c² - (a² + b² - 2ab) = c² - (a - b)² =

применим формулу разности квадратов двух выражений, получим

= (c - (a-b))(c + (a-b)) = (с-а+b)(c+a-b).

3. a² - 3ab + 2b² = a² - 2ab + b² - ab + b² = (a² - 2ab + b²) - (ab - b²) = (a - b)² - b(a - b) = (a - b)(a - b - b) =

= (a - b)(a - 2b).

2

Объяснение:

Рассмотрим наши три условия.

1) x - b < 0

Разность отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого.

⇒ x < b , значит число х расположено левее числа b на координатной прямой.

2) ax < 0

Число а расположено на координатной прямой левее 0. Значит оно отрицательно.

Произведение двух чисел отрицательно, если они имеют разные знаки.

⇒ число х положительно.

x > 0

3) c - b < x

Мы видим, что разница между с и b равна 1. Так как число с расположено правее числа b, то с > b и разность этих чисел положительна.

Действительно, числу b соответствует 3, числу с соответствует 4.

4 - 3 = 1

То есть x > 1.

Получили положительное число х, которое больше 1 и меньше 3.

1 < x < 3.

⇒ x = 2