DABC-пирамида DB перпендикулярен плоскости ABC угол BAD=45 градусов угол ACB=90 градусов AC=15 , CB=20 Найти угол между прямой CD и плоскостью ADB.

Добрый день!

Для начала, давайте разберемся с данными условиями:

У нас есть DABC-пирамида, в которой прямая DB перпендикулярна плоскости ABC. Угол BAD равен 45 градусов, а угол ACB равен 90 градусов. Также известно, что AC = 15 и CB = 20.

Чтобы найти угол между прямой CD и плоскостью ADB, нам понадобится использовать геометрические свойства пирамиды и треугольника.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды

Так как точка D лежит на высоте пирамиды, перпендикулярной плоскости ABC, можно использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды.

Высота пирамиды HD равна корню из суммы квадратов длин прямых AC и CB:

HD = √(AC^2 + CB^2) (применяем теорему Пифагора)

HD = √(15^2 + 20^2) = √(225 + 400) = √625 = 25

Таким образом, высота пирамиды HD равна 25.

Шаг 2: Найдем угол между прямой CD и плоскостью ADB

Угол между прямой CD и плоскостью ADB является углом между плоскостью ADB и плоскостью ABC. Для нахождения этого угла, мы можем воспользоваться свойством, что нормальные векторы плоскостей перпендикулярны их поперечному произведению.

Плоскость ABC может быть определена нормальным вектором n = AB × AC, где × обозначает поперечное произведение. Но перед тем, как продолжить, нам нужно найти векторы AB и AC.

AB = B - A = (0 - 0)i + (0 - 0)j + (1 - 0)k = i + k
AC = C - A = (0 - 0)i + (-1 - 0)j + (0 - 0)k = -j

Теперь мы можем найти поперечное произведение AB и AC:

n = AB × AC = (i + k) × (-j)
= j(i + k) (используем свойства поперечного произведения)

= j × i + j × k
= k - i (переворачиваем знак перед i и перемещаем k перед ним)

Таким образом, нормальный вектор плоскости ABC равен k - i.

Теперь мы можем найти угол между нормальным вектором плоскости ABC и плоскостью ADB, чтобы найти угол между прямой CD и плоскостью ADB.

Угол между векторами a и b, обозначенный как θ, может быть найден по следующей формуле:

cos(θ) = (a·b) / (|a|*|b|)

где · обозначает скалярное произведение векторов, а |a| и |b| обозначают длины векторов.

Вектор a будет нормальным вектором плоскости ABC (k - i), а вектор b будет нормальным вектором плоскости ADB.

Нормальный вектор плоскости ADB будет нормальным вектором плоскости ABC плюс вектор AD.

Вектор AD может быть найден, используя координаты точек A и D:

AD = D - A = (0 - 0)i + (0 - 0)j + (0 - 1)k = -k

Теперь мы можем вычислить нормальный вектор плоскости ADB:

b = n + AD = (k - i) - k = -i

Теперь мы можем вычислить угол между векторами n и b, чтобы найти угол между прямой CD и плоскостью ADB:

cos(θ) = (n·b) / (|n|*|b|)

n·b = (k - i) · (-i) (используем свойства скалярного произведения)
= -k · i + i · i
= 0 + 1 (k и i ортогональны, а i и i равны 1)

|n| = √(|k - i|^2) (длина нормального вектора n)
= √((1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - (-1))^2)
= √(1^2 + 0^2 + 1^2)
= √2

|b| = √(|-i|^2) (длина нормального вектора b)
= √((-1)^2 + 0^2 + 0^2)
= 1

cos(θ) = (0 + 1) / (√2 * 1)
= 1 / √2

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(1 / √2)
θ ≈ 45°

Таким образом, угол между прямой CD и плоскостью ADB примерно равен 45 градусам.