Сколько существует пятизначных чисел составленных из цифр 1.2.3.4.5.7 и кратных 3

Чтобы решить эту задачу, нужно построить все пятизначные числа, составленные из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 7 и определить, сколько из них кратно 3.

Шаг 1: Построение чисел
Нам нужно построить все пятизначные числа, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 7. Важно отметить, что числа не могут начинаться с нуля.

На первой позиции может стоять любая из шести доступных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 7). Это дает нам 6 вариантов.

На второй позиции также может находиться любая из шести доступных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 7), и тут уже не имеет значения, какую цифру мы выбрали на первой позиции. Это также дает нам 6 вариантов.

Аналогично, на третьей, четвертой и пятой позициях мы можем выбрать любую из доступных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 7), и каждый раз у нас будет по 6 вариантов.

Таким образом, общее количество пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 7, равно 6 * 6 * 6 * 6 * 6 = 7776.

Шаг 2: Определение кратности 3
Теперь нужно определить, сколько из этих пятизначных чисел кратно 3.

Чтобы число было кратно 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Рассмотрим это пошагово:

1. Сначала посмотрим, какие числа можно составить, используя все цифры по одному разу: 12345, 12354, 12435, 12453, 12534, 12543, 13245, 13254 и так далее. Всего таких чисел будет 5! = 120, где 5! обозначает факториал числа 5.

2. Затем рассмотрим, какие числа можно составить, используя две одинаковые цифры и три различные цифры (например, числа вида 11234, 11243, 11324 и т.д.). В данном случае у нас есть 6 вариантов выбора одинаковых цифр из шести (у нас есть цифры 1 и 2, которые можно выбирать повторно), и 5!/(2! × 3!) = 10 вариантов выбора различных цифр, где 2! обозначает факториал числа 2.

3. Также рассмотрим числа, состоящие из трех одинаковых цифр (например, числа вида 11123, 11132, 11213 и т.д.). Здесь у нас есть 6 вариантов выбора одинаковых цифр из шести, и 5!/(3! × 2!) = 10 вариантов выбора различных цифр, где 3! обозначает факториал числа 3.

Таким образом, общее количество пятизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 7 и кратных 3, равно 120 + 10 + 10 = 140.

Ответ: Существует 140 пятизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 7 и кратных 3.