Разбейте число 8 на два неотрицательных слагаемых так что бы сумма квадрата первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей/ это связанно с производной,

пусть второе слагаемое х, тогда первое   8-х. составим функцию:

(8-x)^2 + x^3.   возьмем производную:   y ' =-2(8-x) + 3x^2 = 3x^2 + 2x -16.

найдем критичесие точки:   3x^2 + 2x - 16=0,   x=-8/3;   2

так как числа неотрицательные, рассматриваем область [0; +беск)

до х=2 производная < 0, т.е. функция убывает;   после х=2 производная > 0, т.е. функция возрастает. значит, х=2 - точка минимума, т.е. в ней функция достигает наименьшего значения. тогда второе слагаемое равно 2, первое 6 

второе слагаемое обозначим за  х, тогда первое слагаемое  8 - х.

по условию сумма  (8 - x)² + x³  должна быть наименьшей.  

рассмотрим данную зависимость  как  функцию  f(x) = (8 - x)² + x³.

тогда, чтобы найти её наименьшее значение нужно сначала найти все критические точки функции , а затем среди них выбрать из них точку минимума.

 

f''(x) = ((8 - x)² + x³)'=  ((8 - x)²) '  +  (x³)' = 2*(8 - x)*(8 - x)'  + 3х² =

= - 2*(8 - x)+ 3х²  = 3х² + 2х - 16

критические точки - это точки в которых поизводная равна нулю:

      f''(x) = 0

      3х² + 2х - 16 = 0

            d = 4 + 4*3*16 = 196       

            √d = 14

              х  = 2                                  или                  х  = - 8/3 (не подходит, т.к. по условию 

                                                                                                    оба  слагаемые неотрицательные)

итак,  найдена ровно одна критическая точка.

докажем, что это и есть точка минимума.

расставим знаки производной на промежутках знакопостоянства:

                                        -                                                                              +

ф-ция убывает                                                              ф-ция возрастает                                 

т.о.  до точки х=2            ф-ция убывает,  а после точки х=2 -      возрастает  =>  

х=2    -  точка минимума.

значит в точкех=2функция    f(x) = (8 - x)² + x³  принимает минимальное значение.

итак, второе слагаемое 2,  тогда первое слагаемое равно 8 - х= 8-2 = 6

ответ: первое слагаемое 6,  второе слагаемое 2.

Решим на движение по воде

дано: s=132 км s(плота)=60 км v(теч.)=v(плота)=5 км/час найти: v(собств. лодки)=? км/час решение 1) скорость плота равна скорости течения реки v(плота)=v(теч.)=5 км/час. к тому времени, когда лодка вернулась на пристань а, плот был в пути: t(время)=s(расстояние)÷v(скорость)=60÷5=12 (часов). 2) лодка отправилась на 1 час позже, значит она была в пути 12-1=11 часов. лодка проплыла между пристанями а и в 132 км, и вернулась обратно от пристани в к а, проплыв ещё 132 км.   пуст х - собственная скорость лодки. по течению моторная лодка плыла со скоростью: v(по теч.)=v(собств.) + v(теч.)=х+5 км/час против течения моторная лодка плыла со скоростью: v(пр. теч.)=v(собств.) - v(теч.)=х-5 км/час время в пути по течению равно: t(по теч.) =s÷v(по теч.)=132/(х+5) часа время в пути против течения равно: t(пр. теч.) =s÷v(пр. теч.)=132/(х-5) часа. всего на путь туда и обратно ушло 11 часов. составим и решим уравнение: 132/(х+5)+132/(х-5)=11 (умножим на (х-5)(х+5), чтобы избавиться от дробей) 132×(х-5)(х+5)/(х+5) + 132×(х+5)(х-5)/(х-5)=11(х+5)(х-5) 132(х-5) + 132(х+5)=11(х²-25) 132х-660+132х+660=11х²-275 264х=11х²-275 11х²-264х-275=0 d=b²-4ac=(-264)²+4×11×(-275)=69696+12100=81796 (√d=286) х₁=(-b+√d)/2a=)+286)/2×11=550/22=25 (км/час) х₂=(-b-√d)/2a=) -286)/2×11=-22/22=-1 (х₂< 0 - не подходит) ответ: скорость лодки в неподвижной воде (собственная скорость) равна 25 км/час.

Ну решим по и так сложим знаменатель : 400/x+145 ( так как я прибавил 140 + 5, почему я прибавил так как это не х и 5 не относится к х оно в скобке, а значит разрешается его вынести ) = 900/x первую дробь мы добавляем точнее умножаем на x/x, а во второй x+145/x+145) => теперь получается вот так: 400x/x(x+145) = 900(x+145)/x(x+145) => 400x/x(x+145)= 900*x*145/x(x+145) = умножаем 900 на х и на 145. 400x/x(x+145) = 900x+900*130500/x(x+145) = 900*145 получается 130500 проверь если что по калькулятору. теперь знаменатель убираем так как он одинаковый тоесть сокращаем. 400x=900x+130500 400x-900x=130500 если мы переносим х то складываем х с х и тогда задается вопрос почему - 900. так как мы перенесли 900 х к 400х и знак меняется и идет в - -500x= 130500 x= - 261 ( спросишь почему я разделил 130500 на 500 так как идет дробь, и получается )