Докажите, что при любых значениях a, b и с многочлен: а) a^2+9b^2+c^2-6ab-2ac+6bc принимает неотрицательные значения; б) a^2+4b^2-4ab-10a+20b+26 принимает положительные значения. решите с подробным решением.

б)

=a^2+4b^2-4ab-10a+20b+26=

=a^2-4ab+4b^2       -10(a+2b)   +25   +1=

=(a-2b)^2   -2*5*(a-2b) +5^2   +1=

=(a-2b-5)^2   +1

так как   (a-2b-5)^2   > = 0 следовательно 

(a-2b-5)^2   +1   принимает положительные значения  при любых значениях a,b

а) a^2+9b^2+c^2-6ab-2ac+6bc принимает неотрицательные значения;

a2+9b2+c2-6ab-2ac+6bc = (a-3b-c)2   ; это выражение будет  принимать неотрицательные значения при любых a, b и c, т.к является квадратом (при возведении в чётную степень любое число будет иметь неотрицательное значение)

подробности: применил формулу квадрата суммы (a+b+с)^2=a^2+b^2+2ab+2bc+2ac, в данном случае    (a-3b-c)^2=a^2+(-3b)^2+(-c)^2+(2*a*(-3b))+(2*a*(-c))+2*(-3b)*(-c)=a^2+9b^2+c^2-6ab-2ac+6bc. я всего лишь обратил процесс.

B₂ + b₄ = 30   эту систему решим подстановкой b₂= (30 - b₄)        b₂ *b₄ = 144,   подставим. получим: (30 - b₄)*b₄ = 144, ⇒30b₄- b₄² = 144,⇒ s₉ - ? ⇒ b₄² -30b₄ +144 = 0 по т.   виета а)b₄ = 6     и   б)b₄ = 24                                                           b₂= 24               b₂ = 6 подходит 2-й вариант     b₂= 6     b₄=24 b₃=12, значит, q = 2, a b₁=3 s₉ = b₁(b⁹ -1)(q -1) = 3(512-1)/1 = 3*511 = 1533

1. у арифметической прогрессии первый член равен 6, второй 2. найдите разность.

а₂=а₁+d. где d- разность прогрессии

2=6+d; d=2-6=-4

2. у арифметической прогрессии первый член равен 4, второй член 6. найдите третий   член.

a₂=a₁+d;

aₙ=a₁+d(n-1)

6=4+d; d=6-4=2

a₃=a₁+d*(3-1)=4+2(2)=8

3. у прогрессии первый член равен 9, второй член 3. найдите   знаменатель.

b₂=b₁*q

3=9*q; q=3/9=1/3

4. у прогрессии первый член равен 8, второй член 4. найдите третий   член.

b₂=b₁*q; 4=8*q; q=4/8=1/2

b₃=4*1/2=2

5. найдите восьмой член арифметической прогрессии, если первый ее член равен 1, а   разность 5.

aₙ=a₁+b(n-1)

a₈=1+5(8-1)=1+5*7=36

6. найдите шестой член прогрессии , если ее первый член равен 1, а   знаменатель -2.

bₙ=b₁*q⁽ⁿ⁻¹⁾

b₆=1*(-2)⁽⁶⁻¹⁾=1*(-2)⁵= -32

7. является ли последовательность нечетных чисел арифметической прогрессией?   почему?

запишем последовательность нечерных чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, (2n-1)

разность прогрессии b=3-1=5-3=7-5=2

да. последовательность нечетных чисел является арифметической прогрессией

8. является ли последовательность простых чисел прогрессией? почему?

запишем последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,

найдем знаменатель:

q=3/2= 1.5; q=5/3=1.(6); q=7/5=1.4

нет, последовательность простых чисел не является прогрессией.

9. найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если первый ее член   равен 6, а разность -3.

sₙ=(a₁+aₙ)*n /2

a₅=6+(-3)*(5-1)=6-3*4= -6

s₅=(6-6)*5/2=0.

10. найдите сумму первых пяти членов прогрессии, если первый ее член   равен -1, а знаменатель 2

sₙ=(b₁*(1-qⁿ))/(1-q)

s₅=(-1*(1-2⁵))/(1-2)=(-1*(-31))/(-1)= -31