Решите уравнение и докажите, что построена цепочка равносильных уравнений: а) 13 - ( x - 1)^2 + ( 2x - 1) ( x + 1) = ( x + 2 )^2 б) ( x - 1 )^3 - ( x - 3 )^3 = 3x + 26 в) ( x + 1)^3 - ( x - 1)^3 = 6 ( x^2 + x + 1 ) г) ( 3x - 1 )^2 + ( 6x - 3 ) ( 2x + 1) = ( x - 1 )^2 + 5 ( 2x + 1 )^2

а) 13-(х-1)²+(2х-1)(х+1)=(х+2)²

    13-х²+2х-1+2х²+2х-х-1=х²+4х+4

    х²-3х+11=х²+4х+4

    -3х-4х=-11-4

    х=7

б)(х-1)³-(х-3)³=3х+26

    х³-3х²+3х-1-х³+9х²-27х+27=3х+26

    -3х²+3х-1+9х²-27х+27-3х-26=0

    6х²-27х=0

    3х(2х-9)=0

    х=0   2х=9 

            х=4.5

  3)(х+1)³-(х-1)³=6(х²+х+1)

    х³+3х²+3х+1-х³+3х²-3х+1-6х²-6х-6=0

    -6х=4

    х=-4/6=-2/3   

4)(3х-1)²+(6х-3)(2х+-1)²+5(2х+1)²=0

9х²-6х+1+12х²-3-х²+2х-1-20х²-20х-5=0

  -24х-8=0

х=-1/3 

     

 

 

     

 

 

 

 

 

1) 13-(x-1)^2+(2x-1)(x+1)=(x+2)^2

13-x^2+2x-1+2x^2+x-1=x^2+4x+4

-x=-7

x=7

 

2) (x-1)^3-(x-3)^3=3x+26

x^3-3x^2+3x-1-x^3+9x^2-27x+27-3x-26=0

6x^2-27x=0

3x(2x-9)=0

3x=0   или   2x-9=0

x=0             x=4,5

 

3)   ( x + 1)^3 - ( x - 1)^3 = 6 ( x^2 + x + 1 )

x^3+3x^2+3x+1-x^3+3x^2-3x+1-6x^2-6x-6=0

-6x-4=0

x=-2/3

 

4)   ( 3x - 1 )^2 + ( 6x - 3 ) ( 2x + 1) = ( x - 1 )^2 + 5 ( 2x + 1 )^2

9x^2-6x+1+12x^2-3=x^2-2x+1+20x^2+20x+5

-24x=8

x=-1/3 

в первом уравнении мы раскрыли модуль: при x > 0 уравнение имеет вид y + a = 1, при x ≤ 0 оно не определено.

график первого уравнения - прямая, параллельная оси ox, которая определена при x > 0. график второго уравнения - парабола, её вершина имеет координаты (-a; -3). при движении прямой вниз парабола сдвигается влево, а при движении прямой вверх - вправо.

система имеет одно решение, если прямая касается параболы или парабола пересекает её один раз.

1 случай. касание. прямая, которая касается параболы, имеет уравнение y = -3 ⇒ 1 - a = -3 ⇔ a = 4. но тогда вершина параболы будет иметь координату (-4; -3), а при x < 0 первое уравнение не определено. a = 4 не подходит.

2 случай. пересечение. если бы прямая y = 1 - a была определена в точке x = 0, то парабола имела бы одно пересечение с прямой в некой точке (0; y₁), двигалась вправо, пока её левая ветвь вновь не пересекла прямую в точке (0; y₂). но x = 0 не входит в область определения, поэтому это лишь меняет границы полуинтервала местами (т. е. если левая граница была исключена, а правая включена, то сейчас наоборот: левая включена, правая исключена). подставим координаты (0; y) и составим уравнение:

правая граница исключается, иначе не будет пересечений, левая включается, т. к. при таком a всё ещё будет одно пересечение.

ответ:

понятно, что нужно доказать для минимального числа попарных знакомств, ибо если все друг с другом знакомы, то число искомых пар будет велико. минимум знакомств будет, если 24 человека знакомы   только с 25-м. тогда любая пара из 24 будет иметь общего знакомого - 25-го. итого здесь получается 24 пары знакомых - 1-й и 25-й, 2-й и 25- 24-й и 25-й. возникает одна проблема - 25-й ни с кем не имеет общего знакомого. тогда   самое простое - попарно перезнакомить всех из 24-х. 1-го со 2-м, 3-го с 4- 23-го с 24-м. таких знакомств будет еще 12. и проблема 25-го решена. у него и любого из 24-х появился общий знакомый. итого получилось минимум 36 пар знакомых.