Найти множество значений функции y=sinx-5cosx y=1-8cos^2 x sin^2 x доказать ограниченность функции y=cosx/1, 5-sinx

y=1-8cos^2xsin^2x=1-2(sin2x)^2

0< =sin2x^2< =1

-1< =y< 1

(2sinxcosx)^2=4sin^2xcos^2x

функция cosx и sinx - ограниченые функции.

1,5-sinx -ограничена и в 0 не обращается

следовательно и их частное ограниченая функция.

-1=< сosx< =1

-5< =5cosx< =5

sinx=-1  cosx=0  y=-1

sinx=1    cosx=0    y=1

sinx=0    cosx=1    y=0-5=-5

                        cosx=-1  y=5

множество значений [-5; 5]

1) 2sin2x = 3sinx 4sinxcosx = 3sinx 4sinxcosx - 3sinx = 0 sinx(4cosx - 3) = 0 произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) sinx = 0 x =  πn, n  ∈ z 2) 4cosx - 3 = 0 4cosx = 3 cosx = 3/4 x =  ±arccos(3/4) + 2πn, n  ∈ z ответ: x = πn, n  ∈ z;   ±arccos(3/4) + 2πn, n  ∈ z. 2) 4cos2x = sinxcosx 4cos2x = 0,5sin2x sin2x = 8cos2x       |: cos2x tg2x = 8 2x = arctg8 +  πn, n  ∈ z x = 1/2·arctg8 + πn/2, n  ∈ z ответ: x = 1/2·arctg8 + πn/2, n  ∈ z.

A) y = x², x  ≥ 0 возьмём две точки x₁ и x₂, такие, что x₁ > x₂ y(x₁) = x₁² y(x₂) = x₂² найдём разность значений функции: y(x₁) - y(x₂) = x₁² - x₂² = (x₁ + x₂)(x₁ - x₂) т.к. x  ≥ 0, то x₁ + x₂ > 0, т.к. x₁ > x₂, то x₁ - x₂ > 0. значит, y(x₁) - y(x₁) > 0, отсюда делаем вывод, что функция возрастающая (при увеличении аргумента увеличивается и значение функции). b)    y = x², x ≤  0 делаем то же самое и получаем: y(x₁) - y(x₂) = x₁² - x₂² = (x₁ + x₂)(x₁ - x₂) т.к. x  ≤ 0, то x₁ + x₂ < 0, т.к. x₁ > x₂, то x₁ - x₂ > 0. значит, y(x₁) - y(x₂) < 0, отсюда делаем вывод, что функция убывающая (при увеличении аргумента значение функции уменьшается).