Сума цифр двозначного числа дорівнює 11. якщо до даного числа додати 63, то получимо число, записане тими самими цифрами у зворотному порядку. знайдіть дане число.

сумма цифр двузначного числа равна 11. если к  данному числу добавить 63, то получим число, записанное  теми же цифрами но в обратном порядке.найдите данное число.

 

а + b = 11

10a+b+63=10b+a

9a-9b=-63   |: 9

 

а + b = 11

a - b = -7

2a = 4

  a = 2

b = 11 - a = 9

 

искомое число 29

 

 

я вважаю, що дійсно, не все те золото, що блищить. На мою думку, люди повинні навчитися цінувати справжню красу, яка є внутрішньою. багато моїх сучасників цінують матеріальне, а не духовне. вони забувають про те, що потрібно дивитися на вчинкиі душу людини, а не на її статки. переконливим прикладом щодо цього аргументі є, на мою думку, образ наталки полтавки із однойменної п*єси котляревського. наталка, не зважаючи на походження і заможність возного, не погодилась виходити за нього заміж. дівчина чекала із заробітків свого коханого -петра. вона не звертала людину за її душу.

Пример 1. Почему квадрат корня квадратного из неотрицательного числа равен самому этому числу? Другими словами, почему

(√a)² = a?

ответ. По определению квадратного корня.

Пример 2. Почему

ответ. По определению логарифма.

Вспомните определение квадратного корня: квадратным корнем из неотрицательного числа а (а ≥ 0) называют неотрицательное число √a , квадрат которого равен а.

А теперь повторите определение логарифма: логарифмом положительного числа N (N > 0) по положительному и не равному единице основанию а (а > 0, а ≠ 1) называют такое число loga N, что основание а в степени loga N равно N. Мы убедились в том, что обе формулы (из примеров 1 и 2) представляют собой не что иное, как формальную запись определений квадратного корня и логарифма, соответственно.

Пример 3. Почему две параллельные прямые лежат в одной плоскости?

ответ. По определению параллельных прямых.

Пример 4. Почему сумма внутренних углов треугольника равна 180°?

ответ. По теореме о сумме углов треугольника.

Пример 5. Почему сумма всех нечетных чисел, начиная с 1 до 2n + 1, равна квадрату натурального числа n?

Отвечая на этот вопрос, мы не можем сослаться на одну из теорем курса. Поэтому нужно приступить к доказательству. Вы найдете его в главе, посвященной математической индукции.

Задачи

Глава 1 Геометрические задачи на плоскости

Обозначения: а, b, с — стороны треугольника; А, В, С — углы, лежащие против этих сторон, соответственно; mа — медиана стороны а; lA — биссектриса угла А; ha — высота, опущенная на сторону а; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; P = 2р — периметр многоугольника.

Длиной биссектрисы внешнего угла А треугольника называется отрезок биссектрисы, заключенный между точкой А и точкой пересечения биссектрисы с продолжением стороны а.

Отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот общий угол.

Имеет место формула, выражающая длину медианы треугольника через длины его сторон:.

Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь S = pr.

Площадь четырехугольника: S = ½ d1d2 sin α, где d1 и d2 — длины его диагоналей, а α — угол между ними.

При решении планиметрических задач приходится применять производные пропорции.

Если  .

Если , то

, где комбинация знаков берется любая, но одинаковая для числителя и знаменателя.

1.1. Вокруг правильного треугольника ABC описана окружность O радиусом R. Окружность O1 касается двух сторон AB и BC треугольника и окружности O. Найдите расстояние от центра окружности О1 до вершины А.

1.2. Высота равнобедренного треугольника с углом α при основании больше радиуса вписанного в него круга на m. Определите основание треугольника и радиус описанной окружности.

1.3. Докажите, что радиус окружности, делящей пополам стороны треугольника, вдвое меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника.

1.4. В треугольнике соединены основания биссектрис. Найдите отношение площади данного треугольника к площади образовавшегося треугольника, если стороны данного треугольника относятся как p : q : l.

1.5. Даны углы A, B, C треугольника ABC. Пусть окружность касается сторон BC, AC и AB треугольника соответственно в точках A1, B1, C1. Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 к площади треугольника ABC.

1.6. Дан треугольник ABC, углы B и C которого относятся как 3 : 1, а биссектриса угла А делит площадь треугольника в отношении 2 : 1. Найдите углы треугольника.

1.7. Найдите длину l биссектрисы внешнего угла А треугольника, если даны его стороны b и c и угол А между ними (b ≠ c).

1.8. В треугольнике площади S, с острым углом α при вершине А биссектриса угла А в p раз меньше радиуса описанного и в q раз больше радиуса вписанного круга. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла А.

1.9. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN. Пусть O — точка их пересечения. Известно, что

AO : OM = √3 : 1, а BO : ON = 1 : (√3 − 1).

Найдите углы треугольника.

1.10. Внутри угла а взята точка M. Ее проекции P и Q  на стороны угла удалены от вершины O угла на расстояния OP = p и OQ = q. Найдите расстояния MP и MQ от точки M до сторон угла.

1.11. В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и 2√2 см, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5 : 1, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.

1.12. В треугольнике ABC разность углов B и C равна π/2. Определите угол C, если известно, что сумма сторон b и c равна k, а высота, опущенная из вершины A, равна h.

1.13. В треугольнике ABC имеется точка O, такая, что углы ABO, ВСО и CAO равны α. Выразите ctg α через площадь треугольника и его стороны.

1.14. В треугольнике ABC дана разность φ углов A и В (φ = A − В > 0). Известно, что высота, опущенная из С на AB, равна BC − AC. Найдите углы треугольника.

Объяснение: