Вравносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. докажите, что периметры треугольников образуют прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника

поскольку вершины каждого вписанного треугольника - середины сторон предидущего, то его стороны - средние линии предидущего, т.е. каждая сторона меньшего треугольника равна половине параллельной ей стороне большего треугольника =>

так как данный треугольник равносторонний, то его периметр равен

p1 = а+а+а = 3a, где а - сторона треугольника. (а=16 поусловию )

у следующего треугольника

  p2 = 1/2а+1/2а+1/2а = 3a*1/2, у следующего

р3 = 1/2 * 1/2 * 3а и т.д. 

так периметры данных треугольников образуют прогрессию, знаманателем которой является

q = p2/p1 =  (3a*1/2)/3a = 1/2

теперь можно найти  периметр шестого треугольника

р6 = р1*q^(6-1) = p1*q^5 = 3a*(1/2)^5 = 3*16/32 = 1,5 (см)

(x²-2x+1)²= =(1+9x²)(1+(x²+x+1)²) ((x²+x+1)-3x)²= =1+(x²+x+1)²+(3x)²+(3x)²(x²++x+1)² делаем замену: (x²+x+1)=a 3x=b (a-b)²=1+a²+b²+a²b² 1+a²+b²+a²b²-a²+2ab-b²=0 1+a²b²+2ab=0 (1+ab)²=0 делаем обратную замену (1+3x(x²+x+1))²=0 (3x³+3x²+3x+1)²=0 разложить дальше не представляется возможным, поэтому далее, раз речь идёт о рамках 8-9 класса, можно лишь построить график (см рисунки выполненные в разных масштабах), например , по точкам и приблизительно оценить, что y=3x³+3x²+3x+1 имеет действительный корень x~-0,44

№22.

36 мин = 0,6 ч

20 · 0,6 = 12 (км) - проехал 2-ой велосипедист, пока 1-ый был на остановке.

120 - 12 = 108 (км) - расстояние одновременного движения велосипедистов.

10 + 20 = 30 (км/ч) - скорость сближения.

108 : 30 = 3,6 (ч) - время одновременного движения велосипедистов.

3,6 + 0,6 = 4,2 (ч) - время движения 2-ого велосипедиста.

20 · 4,2 = 84 (км) - проехал 2-ой велосипедист до встречи с 1-ым.

ответ: 84 км.

График: (см. фото)

Таблица точек:

x    -7         -6        -5      -4       -3    -2    -1     0     1     2       3      4        5       6

y   36,4    24,7    15,2    7,8     2,7    0     0    2    0    -4       0    8,2    18,7    31,1

При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком однц общую точку:

m = - 4