ответ: Нет.
Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.
Пусть искомый многочлен f(x) существует.
Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).
Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.
Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).
То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.
Допустим, что . Тогда имеем уравнение , не имеющее решений, поскольку в левой части число неположительное, а в правой - положительное, т.е. левая часть никак не может быть равна правой. Т.е.
Преобразуем правую часть:
Перенесем все влево с противоположным знаком:
Поскольку , можем разделить обе части уравнения на . В итоге имеет равносильное исходному уравнение
Заметим, что является корнем уравнения относительно тангенса. Тогда по теореме Виета второй корень равен .
Соответственно, имеем два случая: или или .
1 случай.
2 случай.
Имеем две серии корней.
ОТВЕТ: π/4 + πk, k ∈ Z; -arctg(1/4) + πn, n ∈ Z.
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
Разложите на множители многочлен: в) b^2c^2+c^3-b^3-bc г) a^3-3a^2+a-3
1) b^2(c^2 - b) + c (c^2 - b) = (c^2-b)* (b^2 +c)
2) a^2 (a - 3) + (a-3)= (a - 3)* (a^2 +1)