Тема: системы линейных уравнений за 3 тетради и 5 карандашей саша заплатил 29коп., а таня за 1 тетрадь и 7 карандашей 31коп. сколько стоит тетрадь и сколько карандаш?

составим уравнение: тетрадь-хкарандаш-уполучится система: 3х+5у=29,х+7у=31выразим х из второго уравнения: х=31-7уподставим данное уравнение в первое уравнение. получим: 3(31-7у)+5у=29решаем: 93-21у+5у=29приводим подобные слагаемые: 93-16у=29-16у=29-93-16у=-64разделим обе части уравнения на число -16получим: у=4  из уравнения(когда мы выражали х из второго уравнения) подставим в это уравнение значение у(4)получим: х=31-7*4=31-28=3х=3за х мы принимали цену тетради, за у-ценй карандаша, ответ: тетрадь стоит 3 рубля, карандаш стоит 4 рубля. 

task/30344691   решить систему :   { x/y - y/x= 5/6;   x²-y²=5.

решение   :   { x/y - y/x= 5/6 ;   x²-y²=5.   || одз: x ≠0 ; y ≠0 || ⇔

{ (x²-y²)/xy =5/6; x²-y²=5.⇔{ 5/xy =5/6; x²-y²=5.⇔{ xy=6 ; x²-y²=5. ⇔

{ y=6/x; x²- (6/x)²= 5.         (x²)² -   5x²- 36= 0 . ⇔ [ x² = - 4   ; x²= 9 .

* * * x² = - 4   не имеет действительных решений   x₃= -2i ; x₄ =2i   * * *

* * *   y₃ = 6/x₃ = 6/(-2i) = 3i ; y₄/x₄ = 6/2i = - 3i   * * *

x²= 9   ⇒ x₁ = -3   ; x₂= 3

y₁ = 6/x₁ =6/(-3) = -2 ,   y₂= 6/x₂= 6/3 =   2   .

ответ:   (-3 ; -2) , (3 ; 2) .           * * *   (-2i ; 3i) ; (2i ; -3i) * * *

уравнения с тригонометрическими функциями часто решаются через замену функции другой переменной.

при решении уравнения с тригонометрической функцией важно помнить

основную тригонометрическую формулу: 1 = sin2a + cos2а;

внимательно следить за одз (область допустимых значений);

заменять тригонометрическую функцию можно только тогда, когда в уравнении больше нет других тригонометрических функций.

нам дано уравнение 2cos2x + 5sinx + 1 = 0

заменим cos2x синусом в квадрате по формуле 1 = sin2a + cos2а.

из этой формулы следует, что cos2а = 1 - sin2a.

подставим выраженное значение cos2а в наше уравнение.

2(1 - sin2a) + 5sinx + 1 = 0

раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые.

2 - 2sin2a + 5sinx + 1 = 0

- 2sin2a + 5sinx + 3 = 0

умножим все уравнение на (- 1) для облегчения дальнейших расчетов.

2sin2a - 5sinx - 3 = 0

произведем замену

пусть sina = р.

получается квадратное уравнение 2р2 - 5р - 3 = 0.

решаем его через дискриминант.

а = 2, в = - 5, с = - 3.

d = в2 - 4ас = 52 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49 (кв.корень равен 7)

р1 = (5 + 7)/(2 * 2) = 12/4 = 3

р2 = (5 - 7)/(2 * 2) = (- 2)/4 = - 1/2

возвращаемся к замене

sin2a = р. подставляем вместо р получившиеся корни 3 и - 1/2.

sina = 3 (такого не может быть, синус всегда меньше единицы, но больше минус единицы)

sina = - 1/2

с единичной окружности находим:

а = - п/6 + 2пn, n - целое число

а = - 5п/6 + 2пn, n - целое число