При каких значениях параметра а уравнение имеет 4 корня |x2+6x+8|=a

если нарисовать график, то всё на нём будет видно.

у=х²+6х+8   - это парабола с ветвями, направленными вверх, точки пересечения с осью ох - х₁= -4, х₂= -2 (это корни уравнения х²+6х+8=0)

вершина находиться в точке х(верш)= -в/2а=-6/2=-3, у(верш)=(-3)²+6*(-3)+8= -1.

график ф-ции   у=|x²+6x+8| получаем из предыдущего путём отображения относительно оси ох той части параболы, которая лежит ниже оси ох( на отрезке [-4,-2] ) в верхнюю полуплоскость.

чтобы прямая у=а (параллельная оси ох) пересекла этот график в 4 точках, надо, чтобы это число а было между 0 и 1, то есть 0< а< 1 

 

Task/25754168 пусть  o(x ; y ; z)  точка пересечения диагоналей  ac и  bd  в точке пересечения диагонали делятся пополам  x =( x(b) +x(d) ) /2 = (0+1)/2 =1/2 ; y =(  y(b) +y(d) ) /2 = (3+0)/2 =3/2  ; z =(  z(b) +z(d) ) /2 = (2+1)/2 =3/2  ; o(1/2 ; 3/2 ; 3/2)  вектор    a o  (-1/2; -1/2; -3/2) ;     | a o| =√( (-1/2)² +(-1/2)² +(-3/2)² )    = (√11) /2 вектор    b o  (1/2; -3/2; -1/2) ;   |  b o| =√( (1/2)² +(-3/2)² +(-1/2)² ) = (√11) /2 a o  * b o   =| ao  |*| bo  |  *cosα  =  (√11) /2 *  (√11) /2 *cosα =(11/4) *cosα ; с другой стороны : a o  * b o   =(-1/2)*(1/2)+(-1/2)*(-3/2) +(-3/2)*(-1/2) = 5/4 ; (11/4) *cosα =  5/4  ⇒ cosα = 5/11.            α  =arccos(5/11)

Будем считать, что функция f определена только на отрезке [-1; 1]. найдем х, при которых исходное неравенство определено. левая часть определена при -1≤3x+2≤1, -3≤3x≤-1 -1≤x≤-1/3, т.е. х∈[-1; -1/3]. правая часть определена при -1≤4x²+x≤1 решаем 4x²+x-1≤0: x1=(-1-√17)/8≈-0,64; x1=(-1+√17)/8≈0,39, т.е. x∈[x1; x2] решаем 4x²+x+1≥0: d< 0, х∈(-∞; +∞) итак, нам надо найти решения неравенства на интервале [(-1-√17)/8; -1/3]. воспользуемся тем, что если функция f убывает на некотором интервале, то неравенство f(а)< f(b) равносильно неравенству a> b для любых а и b из этого интервала, т.е. неравенство f(3x+2)< f(4x²+x) равносильно неравенству 3x+2> 4x²+x решаем его: 4x^2-2x-2< 0 2x²-x-1< 0 x1=-1/2, x2=1 x∈(-1/2; 1) итак,  x∈(-1/2; 1)∩[(-1-√17)/8; -1/3]=(-1/2; -1/3], т.к. (-1-√17)/8≈-0,64< -1/2. ответ: x∈(-1/2; -1/3].