Найти наибольшее или наименшее значение функции на интервале если f(x)=x^3-48x+102 [0; 5]

y(x)=x^3-48x+102 [0; 5]

найдем сначала значение функции на границах участка

y(0) = 0-48*0+102 = 102

y(5) = 5^3-48*5+102 = -13

найдем минимум и максимум функции

производная

y'=  3x^2-48

критические точки

  3x^2-48 = 0

  x^2 = 16

x1 = -4                 x2 = 4

знаки производной на числовой оси

      +                 0             -           0             +

 

                        -4                       4

в точке x = 4 функция имеет локальный минимум y(4) = 4^3-48*4+102 = -26

следовательно функция имеет минимальное значение в точке х=4 y(4) = -26

а максимальное значение в точка х = 0 y(0) = 102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По условию задания:

a-b=34

a²-b²= -408

Это система уравнений, решаем методом подстановки.

Для этого выразим a через b в первом уравнении, подставим полученное выражение во второе уравнение и решим его:

a = 34 + b

(34 + b)² -b² = -408         1156 + 68b + b² - b² = -408

                                        68b = -408 - 1156

                                        68b = -1564

                                         b = -23      ⇒   a = 34 - 23 = 11

Проверка:

11  + 23 = 34

11² - (-23)² = 121 - 529 = - 408, всё верно.

* * * * * * * * * * * * * * * *   Решить неравенство:

(14^x)/ 7( Log₇(x-3)²)⁴* (Log₆ (x+2) ≤( 4*2^x)^(x) / 4(Log₇(x-3)²)⁴*Log₆ (x+2)

x ∈ (0 ; Log₂(7/4) ]  ∪  [1 ;2) ∪(2 ;3)  ∪ (3;4) ∪ (4 ;∞) .

Объяснение:    Упрощаем неравенство.

Т.к. (14^x)/7=(2^x)*(7^(x-1) ) и (4*2^x)^(x)/4=(2^x)*(2^(x²+x-2)),то

неравенство преобразуется к виду

((2^x) / Log₇(x-3)²)⁴)* (7^(x-1) -2^(x²+x-2) )  / Log₆ (x+2 ) ≤ 0

ОДЗ: { x-3 ≠0, (x-3)²≠1 ; x+2 >0 ; x+2 ≠1. (все неравенства системы написаны в одной строке)

⇔ { x≠3, x-3≠±1 ; x> -2; x ≠ -1. ⇔{ x>-2; x≠ -1, x≠2 ;x≠3 ; x≠ 4.  разность множеств A= (-2 ;∞)  и B= { -1 ; 2;3 ;4} .

x ∈(-2; -1) ∪(-1 ; 2) ∪(2; 3) ∪(2; 3) ∪(3 ;4) U (4 ; ∞)

(-2)//////// (-1) //////// (2) ///////// (3) ///////// (4) ///////////

для всех допустимых значениях переменного

(2^x*) /((Log₇(x-3)²)⁴) > 0.

Следовательно остается  решить неравенство  :

( 7^(x-1) -2^(x ²+x-2) ) / Log₆ (x+2) ≤ 0 ,

( 7^(x-1) -2^(x-1)(x+2) ) / Log₆ (x+2) ≤ 0 .   || вид M / N  ≤ 0  ||

Числитель  7^(x-1) - 2^(x-1)(x+2)   и  знаменатель Log₆ (x+2) имеют разные знаки.

Применим   метод интервалов. Определяем нули и т.д.

7^(x-1) -2^(x-1)(x+2) =0 ⇔7^(x-1) =2^(x-1)(x+2)  || >0 || ⇔

(x-1)Log₂7 =(x-1)(x+2)  ⇔ (x -1)( Log₂7 -x -2)=0 ⇔

(x -1)( Log₂7 - Log₂4 -x)=0  ⇔(x -1)( Log₂(7/4) -x )

x₁= Log₂(7/4)   ∈ (0,1)

||  Log₂1  < Log₂(7/4)  < Log₂2  ⇔ 0 < Log₂(7/4) < 1  ||

x₂= 1 .

- - - - - - - - - - - - - - -[ Log₂(7/4) ] + + + + +  [1]  - - - -- - - - - -

Log₆ (x+2) =0  ⇒ x= - 1

(-2)- - - - - - - (-1) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 

Пересечение  множеств:  x ∈ (0 ; Log₂(7/4) ]  ∪  [1 ;∞) .

Окончательно ,отбросив  x=2; 3;4 которые ∉ ОДЗ получим ответ: x ∈ (0 ; Log₂(7/4) ]  ∪  [1 ;2) ∪(2 ;3)  ∪ (3;4) ∪ (4 ;∞) .

********************************************

! В интервалах  (-2;-1) и  (Log₂(7/4) ] ; 1)  числитель и знаменатель одинакового знака: в (-2; -1) → отрицательны ,в    ( Log₂(7/4) ] ; 1 ) → положительны .