:с найти точки экстремума функции: у = -х^3 + 4х^2 - 4х

найдем производную:

-3x²+8x-4.

ршаем обычное квадратное уравнение:

d=64-48=16

d> 0

x₁=-8+4/-6=2/3

x₂=-8-4/-6=2

 

т.е. точки эктремума - это 2 и 2/3.

      -             +             -

||>

                          2

- точка минимума

х = 2 - точка максимума.

X₁=√2 x₂=-√8 ах²+bx+c=0 по т.виета x₁+x₂=- b/a         √2+(-√8)= -b/a       √2-√8=-b/a     √2-2√2=-b/a       -√2=-b/a       √2=b/a x₁*x₂= c/a           √2*(-√8)=c/a         -√16=c/a       -4=c/a                 -4=c/a       -4=c/a при а=1       b=√2                   -4=c x²+√2 *  x-4=0

предположим, что существует какое-либо дробное число, при возведении которого в квадрат можно получить два: (p/q)^2  = 2. при этом эта дробь несократима.

запишем уравнение так:   p^2  /  q^2  = 2.

умножим обе части уравнений на  q^2, получим:   p^2= 2q^2.

выражение 2q^2  в любом случае должно быть четным, т.  к. выполняется умножение на 2.

значит,  p^2  тоже четно.

но известно, что квадрат нечетного числа дает нечетное число (например, 5^2  = 25), а квадрат четного – четное (4^2  = 16). поэтому  p  должно иметь четное значение.

если  p  четно, то его можно представить как  p  = 2^k. тогда получим: (2k)^2  = 2q^2. или 4k^2  = 2q^2.

сократим полученное уравнение и получим: 2k^2  =  q2.

поскольку в левой части уравнения результат будет четным (т. к. происходит умножение на 2), то и  q  должно быть четным, чтобы его квадрат был четным.

но вспомним,

ранее было доказано, что и  p  четно,изначально предполагалось, что взятая дробь  p/q  несократима.

если же и  p, и  q  четные числа, то образованную ими дробь можно сократить на 2. т. е. приходят к противоречию с условием и на этом основании делают вывод, что нет рациональной дроби, квадрат которой может быть равен 2.