Из 100 школьников английский знают 42, немецкий — 30, французский — 28, английский и немецкий — 5, английский и французский

Обозначим через А — множество школьников, знающих английский язык; N — множество школьников, знающих немецкий язык; F — множество школьников, знающих французский язык.
Тогда n(A) = 42, n(N) = 30, n(F) = 28, n(A ∩ N) = 5,
n(A ∩ F) = 10, n(N ∩ F) = 8, n(A ∩ N ∩ F) = 3.
Найдем с помощью формулы включений и исключений количество школьников, знающих хотя бы один из перечисленных иностранных языков.
n(A ∪ N ∪ F) = n(A) + n(N) + n(F) =
= n(A ∩ N) – n(A ∩ F) – n(N ∩ F) + n(A ∩ N ∩ F) =
= 42 + 30 + 28 – 5 – 10 – 8 + 3 = 80.
Следовательно, не знают ни одного иностранного языка:
100 – 80 = 20 школьников.

Решение.
Поскольку боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды наклонены к основанию под углом 45 градусов, то в треугольнике ANC угол ANC равен 90 градусам. Таким образом, данный треугольник является прямоугольным.
Пусть длина ребра пирамиды равна а, тогда, исходя из того, что треугольник ANC - прямоугольный равнобедренный,
AC2 = NC2 + AN2
AC2 = 2a2   
AC = a√2
откуда
OC = AC / 2   
OC =  a√2/2    
найдем высоту пирамиды NO:  
NO = √(NC2 - OC2 )
NO = √( a2 - a2/2)
NO = a/√2
Рассмотрим прямоугольный треугольник COD и аналогичным способом найдем его высоту CK
CD2 = OC2 + OD2  
CD2 = ( a√2/2 )2  +  ( a√2/2 )2
CD = a
Откуда
KC = CD / 2
KC = a / 2

OK2 = OC2 - KC 2
OK = a/2   
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KON. Так как он прямоугольный, то
tg ∠NKO = NO / OK
tg ∠NKO = (  a/√2  ) / ( a / 2 )   
tg ∠NKO =   2/√2
откуда
∠NKO =  arctg( 2/√2 ) ≈ 54,7356°
Ответ:  arctg( 2/√2 ) ≈ 54,7356°

Решение.
Правильная четырехугольная пирамида
Найдем угол наклона ребер к плоскости основания.
Поскольку в основании правильной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то, в данном случае, это - квадрат. Поскольку высота пирамиды проецируется в центр основания, то это - точка пересечения диагоналей. Откуда KN = а/2

Треугольник OKN - прямоугольный, OK - высота, равная 3а.
Найдем тангенс угла KNO, обозначив его как α.

tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctg 6 ≈ 80.5377°

Найдем угол наклона ребра пирамиды.
Диагональ квадрата со стороной а равна а√2. Поскольку высота проецируется в центр основания, то в этой точке диагонали делятся пополам.

Таким образом, для прямоугольного треугольника OKC тангенс угла KCO (обозначим его как β ) равен

tg β = OK / KC
tg β = 3a / (а√2/2) = 6 / √2
β = arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Ответ: угол наклона граней arctg 6 ≈ 80.5377°; угол наклона ребер arctg 6/√2 ≈ 76.7373°