Висоти AM i CK трикутника ABC перетинаються в точці О, ОК = ОМ, ∟BAM = ∟ACK. Доведіть, що трикутник ABC piвносторонній

Нехай дано ∆АВС, AM i CK - висоти, т. О - точка перетину висот. ОК = ОМ, ∟ВАМ = ∟ACK.
Доведемо, що ∆АВС - рівносторонній.
Нехай ∟ВАМ = ∟АСК = х.
Розглянемо ∆АВМ (∟М = 90°). ∟В = 90° - х.
Розглянемо ∆КВС (∟К = 90°). ∟В = 90° - х, ∟ВСК = х.
Розглянемо ∆КОА i ∆МОС.
1) ∟OКА = ∟ОМС = 90° (АМ i CK - висоти).
2) КО = ОМ (за умовою).
3) ∟КAO = ∟MCO = х.
Отже, ∆КОА = ∆МОС за катетом i гострим кутом, з цього випливає,
що АО = ОС. Тоді ∆АОС - рівнобедрений i ∟ОАС = ∟ОСА = х.
Розглянемо ∆АВС.
∟В = 90° - х, ∟А = х + х = 2х, ∟С = х + х = 2х.
Оскільки ∟А + ∟В + ∟С = 180°, то 90 - х + 2х + 2х = 180;
90 + 3х = 180; 3х = 90; х = 30.
∟В = 90° - 30° = 60°, ∟А = 30° + 30° = 60°,
∟С = 30° + 30° = 60°.
Якщо в ∆АВС ∟А = ∟В = ∟С = 60°, то цей трикутник - рівносторонній.

Подані на перших сторінках підручника ілюстрації - це фотографії. Історики називають їх фотодокументами, адже вони є важливими джерелами знань про минулі часи. Крім фотографій, про події минулого свідчать усілякі вироби людських рук, сказане чи написане слово. Такі джерела інформації називають історичними джерелами. Історичні джерела - свідки минулого, за якими вчені з'ясовують умови життя в попередні часи. З-поміж історичних джерел вирізняють речові, писемні та усні.
До речових джерел належать давні монети, господарчі знаряддя, хатнє начиння, залишки посуду, одяг, прикраси тощо. Хоч якими цінними вони є для історії, проте відтворення минулого тільки за ними не було б повним. Адже вік речових пам'яток нетривалий. Тому історики послуговуються ще й словесними джерелами - писемними та усними. Завдяки вченим починають «промовляти» написи на каменях, кістках, металі, стають зрозумілими літописи, листи, щоденники, перетворюючись на писемні джерела історії.
В історії кожного народу була дописемна доба, коли всі знання передавалися з уст в уста. Отже, давні легенди, міфи, перекази, казки та обрядові пісні - то не лише витвір народної фантазії, а й скарбниця досвіду попередніх поколінь і тому - безцінне джерело для історика.

Щедрим джерелом у вивченні минулого є монети. На них часто зображували портрети володарів, сцени свят, деталі побуту, героїв легенд і міфів. Зображення й написи на монетах дають змогу встановлювати дати тих або тих подій, дізнаватися про те, якими були території давніх держав, хто був їхнім володарем, хто з ким торгував, який одяг носили давні люди. Стають у пригоді монети дослідникам історії містобудування. Крім того, стародавні монети - це вишукані й рідкісні витвори мистецтва.
Монети досліджує наука нумізматика. Найчастіше давні монети потрапляють до рук нумізматів від археологів та з монетних скарбів. Скарбом уважають будь-яку кількість монет - від кількох екземплярів до десятків тисяч. Проте для історика неоціненним джерелом є кожна монета, яку пощастило «прочитати», тобто розшифрувати й витлумачити.