На малюнку 180 зображено графік руху велосипедиста. З'ясуйте: 1) на якій відстані знаходився велосипедист від початку руху: о 8 год; о 13 год; о 15 год:

Відповідь:

1) 20 км; 40 км; 60 км;             2) чотири рази;
3) о 8-ій год; відпочивав 1 год; 4) 20 км; 20 км;
5) о 21-ій год.

Пусть PQ — средняя линия треугольника DEF, т. е. DP = PE и FQ = = QE. На луче PQ за точку Q отложим отрезок QR, равный отрезку PQ, и точку R соединим с точкой F. Треугольники PQE и RQF равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, отрезок RF равен отрезкам EP и DP, а угол EPQ равен углу FRQ. Учитывая, что эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PE и FR, пересеченных прямой PR, получаем, что эти прямые параллельны. По признаку параллелограмма, доказанному в теореме 4 г, утверждаем, что четырехугольник DPRF — параллелограмм.
Из определения параллелограмма получаем, что средняя линия PQ параллельна стороне DF треугольника DEF.
По свойству параллелограмма, доказанному в теореме 3 б, получаем, что DF = PR. Но PR=2PQ. Значит, DF = 2PQ, или окончательно, PQ = 1/2 DF.

Пусть DB — средняя    линия    трапеции   KLMN. Проведем прямую LB, пусть она пересекает прямую KN в точке С. Треугольники LBM и CBN равны, так как у них углы LBM и CBN равны как вертикальные, углы LMB и CNB равны как накрест лежащие при параллельных LM и KC, пересеченных прямой MN, стороны NB и MB равны по условию. Поэтому отрезки LB и BC равны. Значит, DB есть средняя линия треугольника KLC, а отрезок DB параллелен отрезку KC и, значит, основанию KN трапеции. А поскольку основания KN и LM параллельны, то средняя линия DB параллельна и основанию LM. Мы доказали, что средняя линия трапеции параллельна обоим основаниям трапеции. Докажем теперь, что она равна полусумме этих оснований.
В соответствии с теоремой о средней линии треугольника получаем:
DB = 1/2 KC.
Ho KC = KN + NC, аNC = LM, поэтому DB = 1/2(KN + NC) = -(KN + LM) = KN+LM/2