Попугай изучал африканские кактусы. На трёх кактусах он насчитал всего 90 колючек. На одном кактусе 42 колючки, на другом — 15. Сколько колючек насчитал Попугай на третьем кактусе?

решение
42+15=57 к. на 1 и 2 кактусе
90-57=33к на 3 кактусе

решение
1)42+15=57 колючек на двух кактусах
2)90-57=33
Ответ : 33 колючки попугай насчитал на третьем кактусе

В условии не указано, каково взаимное расположение данных точек на прямой. Поэтому рассмотрим три возможных случая.
1)  Точка В — В1гутренняя точка отрезка АС (рис. 29). Тогда отрезок АС длиннее отрезка В С на длину отрезка АВ, т. е. на 8 см. Это противоречит условию. Следовательно, такой случай невозможен.
2)  Точка С — внутренняя точка отрезка АВ (рис. 30). В этом случае АС + ВС = АВ. Пусть ВС = х см, тогда АС = (х + 2) см. Имеем:
х + 2 + х = 8;
х = 3.
Следовательно, ВС = 3 см, АС = 5 см.
3)  Точка А — внутренняя точка отрезка ВС (рис. 31). В этом случае АВ + АС = ВС и тогда АС < ВС. Это противоречит условию. Следовательно, такой случай невозможен.
Ответ: АС = 5 см, ВС = 3 см.

Пусть PQ — средняя линия треугольника DEF, т. е. DP = PE и FQ = = QE. На луче PQ за точку Q отложим отрезок QR, равный отрезку PQ, и точку R соединим с точкой F. Треугольники PQE и RQF равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, отрезок RF равен отрезкам EP и DP, а угол EPQ равен углу FRQ. Учитывая, что эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PE и FR, пересеченных прямой PR, получаем, что эти прямые параллельны. По признаку параллелограмма, доказанному в теореме 4 г, утверждаем, что четырехугольник DPRF — параллелограмм.
Из определения параллелограмма получаем, что средняя линия PQ параллельна стороне DF треугольника DEF.
По свойству параллелограмма, доказанному в теореме 3 б, получаем, что DF = PR. Но PR=2PQ. Значит, DF = 2PQ, или окончательно, PQ = 1/2 DF.