Вспомните и приведите примеры, в каких случаях вам или вашим родителям приходилось использовать планы местности или географические карты?

Планам местности пользовались на туристических соревнованиях. Картами автодорог страны пользуется отец при поездках.

Решение, а) Так как KL — единица измерения, то KL = 1. В отрезке АВ отрезок KL укладывается два раза, поэтому АВ = 2. Аналогично, PQ = 3, EF = 5, CD = 6.
б) Так как АВ — единица измерения, то АВ = 1. Половина отрезка
АВ укладывается в отрезке KL один раз, поэтому KL = -. В отрезке PQ отрезок АВ укладывается один раз, и в остатке половина отрезка АВ укладывается также один раз, поэтому PQ = 1 + - = 1-. Аналогично, EF = 2^, CD = 3.
Ответ, a) KL = 1, АВ = 2, PQ = 3, EF = 5, CD = 6; б) KL = i, АВ = 1, PQ = li, EF = 2^, CD = 3.

1) Так как прямая а не касается окружности, то она пересекает окружность в двух точках.
В ΔАОС:
ОВ — медиана (т.к. АВ = ВС (по условию)) и высота (т.к. ОВ ⊥ а (по условию)). Значит, ΔАОС — равнобедренный. Таким образом, ОА = ОС и таким образом точка С принадлежит окружности.
2) Пусть прямая а имеет с окружностью только одну общую точку А, но не является касательной, т.е. не перпендикулярна радиусу ОА, таким образом, из точки О можно провести к прямой перпендикуляр ОВ, не совпадающий с ОА. На продолжении отрезка АВ отложим отрезок ВС, равный отрезку АВ. Тогда, из п. 1, точки А и С лежат на окружности. Противоречие, т.к. по условию прямая а имеет с окружностью только одну общую точку.
3) Если две окружности касаются в некоторой точке А, то они имеют общую касательную в этой точке.
Пусть точки О1, О, А не лежат на одной прямой, тогда имеем ΔOO1A. Прямая ОО1 разбивает плоскость на две полуплоскости,
в одной из которых лежит точка А. ΔОО1А = ΔОО1А1 по 1-му признаку. От луча О1О отложим в другую полуплоскость ∠А1О1О = ∠АО1О и на нем отложим отрезок ОА1 = ОА. ОА = ОА1, О1А = О1А1, откуда точка А1 является общей точкой обеих окружностей. Противоречие. По условию окружности имеют только одну точку пересечения. Таким образом, точки О, О1, А лежат на одной прямой.
Через точку А проведем прямую а, а ⊥ ОА. Таким образом, а — касательная к первой окружности. Так как точки О, О1, А лежат на одной прямой, то О1А ⊥ а. Таким образом, а — касательная ко второй окружности. Откуда получаем, что окружности
касаются в точке А.