В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты — 5 человек. Всего коллекционеров

Некоторые ученики коллекционируют и марки, и монеты.
1)11-5 = 6 (чел.) — коллекционируют только марки;
2) 11 - 8 = 3 (чел.) — коллекционируют только монеты.
Ответ: 6 человек; 3 человека.

Решение:
Возможные значения величины Х по условию равны вероятности pi событий Ai; вероятность возможного значения pi, очевидно, также равна pi. Таким образом, X имеет следующее распределение:
X    P1    P2    …    Pn
P    P1    P2    …    Pn
Найдем математическое ожидание:
MX=p12+p22+…+pn2. (*)
Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому:
P1+p2+…+pn=1.
Из дифференциального исчисления известно, что если сумма независимых переменных постоянна, то сумма квадратов этих переменных имеет наименьшее значение в случае равенства переменных. Применительно к рассматриваемой задаче это означает: сумма (*), т. е. математическое ожидание М (X), имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий, образующих полную группу, равны между собой, что и требовалось доказать.

Решение:
По условию ?=3, t=2,k=4. Воспользуемся формулой Пуассона:
Ptk=?tke-?tk!.
A)  Искомая вероятность того, что за 2 мин поступит 4 вызова:
P24=64e-64!=1296*0,002524=0,135.
Б) Событие “поступило менее четырех вызовов” произойдет, если наступит одно из следующих несовместных событий: 1) поступило три вызова; 2) поступило два вызова; 3) поступил один вызов; 4) не поступило ни одного вызова. Эти события несовместны, поэтому применимая теорема сложения вероятностей несовместных событий:
P2k<4=P23+P22+P21+P20=63e-63!+62e-62!+6e-61!+e-6=e-636+18+6+1=0,0025*61=0,1525.
В) События “поступило менее четырех вызовов” и “поступило не менее четырех вызовов” противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 2 мин поступит не менее четырех вызовов:
Pk?4=1-Pk<4=1-0,1525=0,8475.