Через центр симметрии параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны АВ и CD в точках М и K соответственно, вторая — стороны ВС и AD

решение к задаче приложено к ответу

Дано:
АВ = CD; ВС = AD.
Довести: АО = ОС.
Доведения:
Розглянемо ∆BCD i ∆DAB: ВС = AD; CD = АВ; BD - спільна сторона.
За III ознакою piвностi трикутників маємо: ∆BCD = ∆DAB.
Звідси ∟CBO = ∟ADO.
Якщо ∟CBO = ∟ADO (внутрішні різносторонні), тому за ознакою
паралельності прямих маємо: ВС ‖ AD; BD січна. ВС ‖ AD; АС - січна.
За ознакою паралельності прямих маємо: ∟BCO = ∟DAO (внутрішні різносторонні).
Розглянемо ∆ВОС i ∆AOD: ВС = AD; ∟BOC = ∟AOD (вертикальні);
∟OBC = ∟ODA; ∟BCO = ∟ADO.
За II ознакою piвностi трикутників маємо: ∆ВОС = ∆DOA. Звідси АО = ОС.

Пусть ΔАВС - данный по условию. ΔАВС - равнобедренный,
т. М лежит на ВС. ВМ = AM = АС.
Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный, тогда ∟A = ∟С = х.
Рассмотрим ΔАМС: AM = АС (по условию),
тогда ΔАМС - равнобедренный i ∟C = ∟AMC = х (как углы при основании).
∟BMA i ∟AMC - смежные.
∟BMA + ∟AMC = 180 °; ∟BMA = 180 ° - х.
Рассмотрим ΔВМА:
ВМ = МА (по условию), тогда ΔВМА - равнобедренный i ∟B = ∟BAM.
∟B + ∟BAM + ∟BMA = 180 °; ∟B + ∟BAM = 180 ° - (180 ° - x)
∟B + ∟BAM = 180 ° - 180 ° + x; ∟B + ∟BAM = x;
∟В = ∟ВАМ = х / 2.
Для ΔАВС: ∟A + ∟B + ∟C = 180 °.
x + х / 2 + x = 180; 2x + x + 2x = 360; 5x = 360; x = 72.
∟A = ∟C = 72 °.
∟B = 72 °: 2 = 36 °.
Biдповидь: ∟A = ∟C = 72 °; ∟B = 36 °.