Какие три из перечисленных имен принадлежат известным иконописцам, творившим в XIV-XV вв.? 1) Андрей Рублев

Дано: правильная треугольная призма, все ребра равны a. Четыре вершины призмы лежат в плоскости основания конуса, а две другие — на его боковой поверхности. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол ϕ.

Решение:
Проведем сечение через вершину конуса и вершины призмы, которые лежат на боковой поверхности конуса (считаем, что центр квадрата — грани призмы, лежащей на основании конуса, совпадает с центром основания конуса. В противном случае данных для решения задачи недостаточно). Это осевое сечение. Здесь A1K1 = AK — есть высота в грани призмы, которая представляет собой равносторонний треугольник

Дано: из точки поверхности шара проведены три равные хорды под углом α одна к другой, радиус шара равен R.
Найти: длину хорд.
Решение:
Соединим попарно концы хорд. Получим вписанную в шар треугольную пирамиду. Поскольку боковые грани — равные треугольники (по 2 сторонам и углу между ними), то в основании пирамиды — равносторонний треугольник. Высота пирамиды падает в центр (т. пересечения высот, медиан, биссектрис) этого треугольника, т.к. вся фигура при повороте вокруг высоты на 120° переходит в себя же. Проведем сечение сферы и пирамиды плоскостью, проходящей через одну из хорд и высоту. Она пройдет также через центр сферы (см. замечание о сдвиге на 120°).
Здесь AA1 — хорда, O — центр шара, A1B — пересечение с основанием пирамиды (совпадает с высотой, медианой, биссектрисой этой грани, т.к. высота падает эту ...), AK — высота пирамиды и ΔA1AB