Даны угол и отрезок. Постройте треугольник ABC, в котором угол A равен данному углу, AB : AC = 3 : 5 и биссектриса AD равна данному отрезку.

решение задания по геометрии
 

Доведения:
Нехай дано ∆АВС - рівнобедрений (АВ = ВС), ∟B = 36°, AD - бісектриса.
Доведемо, що ∆ABD i ∆BAC - рівнобедрені.
Розглянемо ∆АВС, так як АВ = ВС, то ∟A = ∟C.
Оскільки ∟A + ∟B + ∟C = 180°, то ∟A + ∟C + 36° = 180°;
∟A + ∟C = 144°; ∟A = ∟C = 144 : 2 = 72°.
∟BAD = ∟DAC = 72° : 2 = 36° (AD - бісектриса).
Розглянемо ∆ABD:
∟B = 36°, ∟BAD = 36°, тому ∆ABD - рівнобедрений з основою АВ.
Розглянемо ∆DAC: ∟C = 72°, ∟DAC = 36°.
Оскільки ∟C + ∟DAC + ∟CDA = 180°, то 72° + 36° + ∟CDA = 180°.
∟CDA = 180° - 108°; ∟CDA = 72°.
В ∆DAC: ∟C = 72°, ∟CDA = 72°, тому ∆DAC - рівнобедрений з основою DC.

Пусть стороны треугольника a, b, с.
а = 7 см, b = 9 см.
1) P Δ = 20 см. а + b + с = P Δ ; 7 + 9 + с = 20; с = 20 - (7 + 9) = 4 см.
Проверим неравенство треугольника:
а <b + с; 7 <9 + 4; b <а + с; 9 <7 + 4, с <а + b; 4 <7 + 9
Поскольку неравенство треугольника выполняется, то P Δ = 20 см может быть.
2) P Δ = 32 см.
A + b + с = P Δ ; 7 + 9 + с = 32; с = 32 - (7 + 9) = 16 (см).
Проверим нepiвнicть треугольника:
а <b + с; 7 <9 + 16; b <а + с; 9 <7 + 16; с <а + b; 16 = 7 + 9
Итак, последняя неверность не выполняется, поэтому P Δ ≠ 32 см.
3) P Δ = 18 см.
А + b + с = P Δ ; 7 + 9 + с = 18; с = 18 - (7 + 9) = 2 (см).
Проверим неравенство треугольника:
а <b + с; 7 <9 + 2; b <а + с; 9 = 7 + 2; с <a + b; 2 <7 i 9.
Итак, второе неравенство не выполняется, поэтому P Δ ≠ 18 см.