. Интерполирование функций. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x) с узлами интерполирования xi, i = 0, 1, 2. Вычислить значения f(x) и полинома Лагранжа в точке a: f(x) = (ln x) 1/2; xi = 3, 5, 7; a = 4

Хорошо, давайте разберемся с интерполяцией функций и построением интерполяционного полинома Лагранжа для данной функции.

Интерполяцией называется процесс нахождения функции, которая аппроксимирует значения функции в заданных точках. В данном случае, нам нужно построить интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x) = (ln x)^(1/2) с узлами интерполирования xi = 3, 5, 7 и вычислить значения функции и полинома в точке a = 4.

Интерполяционный полином Лагранжа имеет следующий вид:
L(x) = f(x0)*L0(x) + f(x1)*L1(x) + f(x2)*L2(x) + ... + f(xn)*Ln(x),
где f(xi) - значения функции в узлах интерполирования, а Li(x) - полиномы Лагранжа.

Для начала, найдем значения функции f(x) в узлах интерполирования:
f(3) = (ln 3)^(1/2),
f(5) = (ln 5)^(1/2),
f(7) = (ln 7)^(1/2).

Теперь, найдем полиномы Лагранжа для каждого узла интерполирования. Формула для вычисления полинома Лагранжа имеет вид:
Li(x) = ((x-x0)(x-x1)...(x-x{i-1})(x-x{i+1})...(x-xn))/((xi-x0)(xi-x1)...(xi-x{i-1})(xi-x{i+1})...(xi-xn)).

Для узла x0 = 3, полином Лагранжа будет:
L0(x) = ((x-5)(x-7))/((3-5)(3-7)) = (x-5)(x-7)/(-8).

Для узла x1 = 5, полином Лагранжа будет:
L1(x) = ((x-3)(x-7))/((5-3)(5-7)) = (x-3)(x-7)/2.

Для узла x2 = 7, полином Лагранжа будет:
L2(x) = ((x-3)(x-5))/((7-3)(7-5)) = (x-3)(x-5)/8.

Теперь, мы можем выписать интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x):
L(x) = f(3)*L0(x) + f(5)*L1(x) + f(7)*L2(x) =
= (ln 3)^(1/2) * (x-5)(x-7)/(-8) + (ln 5)^(1/2) * (x-3)(x-7)/2 + (ln 7)^(1/2) * (x-3)(x-5)/8.

После этого, мы можем подставить значение a = 4 в интерполяционный полином Лагранжа, чтобы найти значения функции f(x) и полинома в точке a.

f(4) = (ln 4)^(1/2) = 0.5 * (ln 4),
L(4) = (ln 3)^(1/2) * (4-5)(4-7)/(-8) + (ln 5)^(1/2) * (4-3)(4-7)/2 + (ln 7)^(1/2) * (4-3)(4-5)/8.

Теперь давайте вычислим все значения:

f(3) = (ln 3)^(1/2),
f(5) = (ln 5)^(1/2),
f(7) = (ln 7)^(1/2),

L0(4) = (4-5)(4-7)/(-8) = 3/8,
L1(4) = (4-3)(4-7)/2 = -3/2,
L2(4) = (4-3)(4-5)/8 = -1/8,

L(4) = (ln 3)^(1/2) * 3/8 + (ln 5)^(1/2) * (-3/2) + (ln 7)^(1/2) * (-1/8).

Полученные значения - ответ на задачу.