Электрический заряд q=2, 0*10'-7клпереносят из точки электрического поля с некоторым потенциалом ф1 в точку в точку с потенциалом ф2=250в. при этом силами поля совершается работа а=3, 0*10'-5дж. определите значение потенциала ф1.

q=2.0*10^-7 кл              ф2=250 в  а=3,0*10^-5    джф1-ф2=а/q

ф1=a/q + ф2=

формула бинома ньютона является частным случаем разложения функции {\displaystyle (1+x)^{r}} (1+x)^r в ряд тейлора:

{\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}} (1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k,

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k! }\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k! }}} {\displaystyle {r \choose k}={1 \over k! }\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k! }}}

при этом ряд

{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}++{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n! }}z^{n}+} (1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2++\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n! }z^n+

сходится при {\displaystyle |z|\leq 1} |z|\le 1.

в частности, при {\displaystyle z={\frac {1}{m}}} z=\frac{1}{m} и {\displaystyle \alpha =x\cdot m} \alpha=x\cdot m получается тождество

{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\; m^{2}}}++{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n! \; m^{n}}}+\dots .} \left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}++\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n! \; m^n}+\dots.

переходя к пределу при {\displaystyle m\to \infty } m\to\infty и используя второй замечательный предел {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e} \lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e, выводим тождество

{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n! }}+\dots ,} e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n! }+\dots,

которое именно таким образом было впервые получено эйлером.

Конвекция   (от лат.  convectio   - принесение, доставка), перенос теплоты в жидкостях, газах или сыпучих средах потоками вещества. различают естественную, или свободную, и вынужденную.конвекция широко распространена в природе: в нижнем слое земной атмосферы, морях и океанах, в недрах земли, на солнце (в слое до глубины ~20-30% радиуса солнца от его поверхности) и т.д. с конвекции осуществляют охлаждение или нагревание жидкостей и газов в различных технических устройствах.при подводе тепла к жидкости или газу увеличивается интенсивность движения молекул, а вследствие этого повышается давление. если жидкость или газ не ограничены в объеме, то они расширяются; локальная плотность жидкости (газа) становится меньше, и выталкивающим (архимедовым) силам нагретая часть среды движется вверх (именно поэтому теплый воздух в комнате поднимается от батарей к потолку). данное явление называется конвекцией. чтобы не расходовать тепло отопительной системы впустую, нужно пользоваться современными обогревателями, обеспечивающими принудительную циркуляцию воздуха.