Найти период колебаний колеса массой m и радиусом r, находящегося в ямке

Нарисуйте картинку. Угол между центром кольца и вертикалью назовем . Угол, на который повернулось колесо (само) относительно состояния в положении равновесия, обозначим . Радиус кольца - , радиус ямы - .
В задаче три вида энергии: кинетическая поступательного движения, кинетическая вращательного и потенциальная. Посчитаем каждую из них глядя на картинку.
Кин. эн. поступ. движения:

Вращательного:

(здесь использована кинематическая связь между углами )
И потенциальная:

(последнее равенство, на самом деле, приближенное. Здесь использована малость угла , а именно, первые два члена разложения косинуса в ряд Тейлора: ).
Полная энергия в процессе движения, конечно, сохраняется. Так и запишем.

Вообще, по школьному алгоритму нужно сейчас это уравнение продифференцировать по времени, но можно этого и не делать, а вместо этого сказать такие слова: уравнение вида  является тем, что в теоретической механике называется первым интегралом уравнения гармонического осциллятора . Омеги, стоящие перед вторыми членами в этих уравнениях в силу некоторых, скорее даже, математических причин, совпадают.
Ну и все тогда, пишем квадрат круговой частоты, внимательно глядя на закон сохранения энергии.

Обратите внимание, что ответ не зависит от массы кольца!

P.S. можно похулиганить немножко, предположив, что , то есть, что радиус ямы намного больше радиуса кольца. Тогда выражение для периода вырождается в соответствии с предположением (по рабоче-крестьянски, мы тут пренебрегаем квадратом радиуса кольца), в более красивый ответ:
Обратите внимание, что в этом приближении ответ не зависит даже от радиуса кольца, но зависит, конечно, от радиуса ямы (который в условии очень напрасно не дан). Последнее легко видеть, положив радиус ямы равным бесконечности. Тогда у нас задача превращается в катание колеса по плоскости. В этом случае никаких колебаний нет, а формально, их период равен бесконечности. Теперь ясно, что ответ обязательно должен зависеть от радиуса ямы.

Тепловое явление:нагревание и охлаждение воздуха,таяние льда плавление металлов,кипение воды.

Световое явление: Солнце и горящие лампы, экран телевизора или просто открытый огонь светятся своим собственным светом. А большинство окружающих нас предметов, света не излучают и видим мы их только благодаря тому, что они свет отражают и он попадает нам в глаза. Предметы белого цвета отражают света больше, а потому и выглядят ярче. Черный цвет почти полностью свет поглощает и не отражает его совсем. От зеркала свет без потерь и искажений отражается полностью, поэтому глядя в него наши глаза, видят в нем наше отражение.ПРИМЕРЫ:цвета и волны,глория,туманная радуга это все световые явление.

Механические явления — это явления, происходящие с физическими телами при их движении относительно друг друга (обращение Земли вокруг Солнца, движение автомобилей, качание маятника).

Явления, связанные с распространением колебаний в воздухе, воде, металле, сопровождающиеся возникновением звуков, воспринимает наше ухо, называют звуковыми явлениями. Тела, создающие эти колебания, являются источниками звука.

Магнитными явлениями называются любые явления природы связанные с наличием магнитных полей (как статических, так и волн) и неважно где, в космосе или в кристаллах твердого тела или в технике. Магнитные явления не проявляются при отсутствии магнитных полей. Некоторые примеры магнитных явлений.

1) Физика - наука о природе, изучающая и вместе с тем наиболее общие закономерности природы, строение и законы движения материи.

2) Физику относят к точным наукам.

3) Ее понятия и законы составляют основу естествознания.

4) Границы, разделяющие физику и другие естественные науки, исторически условны.

5)Принято считать, что в своей основе физика является наукой экспериментальной, поскольку открытые ею законы основаны на установленных опытным путем данных.

6) Физические законы представляются в виде количественных соотношений, выраженных на языке математики.

7) В целом физика разделяется на экспериментальную, имеющую дело с проведением экспериментов с целью установления новых фактов, проверки гипотез и известных физических законов, и теоретическую, ориентированную на формулировку физических законов, объяснение на основе этих законов природных явлений и предсказание новых явлений.

8) Структура физики сложна.

9) В нее включаются различные дисциплины или разделы.

10) В зависимости от изучаемых объектов выделяют физику элементарных частиц, физику ядра, физику атомов и молекул, физику газов и жидкостей, физику плазмы, физику твердого тела.