Перед выстрелом из игрушечного пистолета пружину сжали на 5 см массой при выстреле пуля массой 20 г приобрела скорость 10 м.с в горизонтальном направление, какова жесткость пружины? (по закону сохранения энергии)

ΔL=5 см=0,05 м,  m=20 г =0,02 кг, v=10 м/с.

k-?    

По закону сохранения механической энергии имеем: kΔL²/2=mv²/2;  kΔL²=mv²;

k=mv²/ΔL^2; k=0,02*100/0,05^2= 800 Н/м.

ответ: 800 Н/м.

Объясняю очень подробно.
это уравнение гармонических колебаний (например это качели). максимальная скорость точки при таких колебаниях будет в положении равновесия при x=0 (качели быстрее всего движутся в самой нижней точке траектории);
Определим время, когда точка будет в положении равновесия. То есть 0,27cos(5.85t - 3.27) =0;
Это может быть, когда cos(5.85t - 3.27)=0;
А косинус равен нулю, когда его аргумент равен п/2 (половина пи);
5,85t-3,27=п/2;
5,85t=п/2+3,27;
t0=(п/2+3,27)/5,85; в этот момент времени скорость будет максимальной.
Скорость движения это первая производная координаты по времени
v=x'(t)=0,27*(sin(5,85t-3,27)*5,85);
подставим сюда значение времени t:
x'(t0)=0,27*(sin(п/2)*5,85)
x'(t0)=0,27*5,85=1,795 м/с

р₁(V₁)^1,4 = p₂(V₂)^1,4
Преобразуем формулу, выделив соотношение объемов:
[(V₂)^1,4]/[(V₁)^1,4] = p₁/p₂
Объединим отношение оснований с одной степенью под одну степень их отношения  ( для объемов) и запишем отношение давлений:
(V₂/V₁)^1,4 = 1/128
Число 128 -это 7-я степень двойки, представим 7 в виде произведения:
128 = 2⁷ = 2^(5*1,4) так как 128 в знаменателе, значит, степень отрицательная.
1/128 = (2^(-5))^1,4 
(V₂/V₁)^1,4 = (2^(-5))^1,4 Приравняем основания одинаковой степени:
V₂,/V₁ = 2^(-5)    
2^(-5) = 1/(2^5) = 1/32
 V₂ = V₁*/32 = 1,6/32  = 1/20 = 0,05 (л)
Для повышения давления с 1 до 128 атм объем газа нужно уменьшить (т.е. сжать) в 20 раз до объема 50 мл ( при первоначальном 1,6л)