Определите период электромагнитных колебаний в колебательном контуре, если амплитуда силы тока равна im, а амплитуда электрического заряда на пластинах конденсатора qm.

Период T=2*pi*sqrt(L*C)
В таком контуре энергия на катушке равна энергии на конденсаторе.
Wс=Wl
(C*U^2)/2 = (L*I^2)/2
Но этот контур не подключен к источнику питания, значит нажно использовать формулу для энергии конденсатора q^2/(2*C)
после преобразований получаем, что L=q^2 (max) / ( i^2 (max)*C)
Теперь подставим в формулу периода, где сократится емкость конденсатора. T=2*pi*sqrt(q^2 / i^2)
Мы просто выразили индуктивность и подставили в формулу периода.
Поскольку контур сам по себе, без источника, то значения тока и заряда будут максимальными.

Работа будет равна разности энергии запасённой в конденсаторе в 1 и во 2 случае.  В 1 случае E1=C*U²/2=0,5*20*10-¹²*10⁴=1*10-⁷ Дж. Во втором случае ёмкость уменьшится в 4 раза, так как емкость конденсатора из материала с проницаемостью ε, площадью перекрытия обкладок S и расстоянием между обкладками d равна С=ε0*ε*S/d и при уменьшении d в 4 раза и ёмкость уменьшится в 4 раза. Тогда энергия во втором случае E2=0,5*5*10-¹²*10⁴= 2,5*10-⁸ Дж. То есть требуемая работа A=E1-E2=1*10-⁷-2,5*10-⁸=7,5*10-⁸ Дж.

1. Для определения резонансной частоты контура служит формула Томсона.

Здесь Т - период колебаний контура, L - индуктивность контура, С - емкость контура.
Частота колебаний определяется, как величина, обратная их периоду и окончательно получаем
(Гц)

2.Какая мощность будет выделяться в цепи, если эффективное напряжение будет равно 220 В?

а) Режим работы в цепи переменного тока зависит от частоты питающего напряжения. Частота не задана, но напряжение 220В - стандартная величина для однофазного питания, поэтому будем в дальнейшем считать, что речь идет о сети питания с промышленной частотой 50 Гц.
Определим индуктивное и емкостное сопротивления:

Модуль полного сопротивления определится по формуле

Теперь определим полную мощность в цепи:
S = U²/Z = 220² / 1929.3 ≈ 25.1 (Вт);

б) Но возможно, что речь шла о расчете мощности в режиме резонанса. Тогда все существенно проще. При резонансе в последовательном колебательном контуре его реактивное сопротивление равно нулю и можно производить расчет, как для цепи постоянного тока.
S = U²/R = 220² / 1900 ≈ 25.5 (Вт)

3. Написать уравнения зависимости тока и напряжения от времени.
Снова непонятно, о каком режиме цепи речь. Определим его для режима резонанса
U=Um×sin(ωt+φ);
Um=220√2 ≈ 311.1 (В).
ω=2·π·ν = 2π×56.3 ≈ 353.7
φ - некий начальный сдвиг фазы, который можно положить, например, равным нулю.
U=311.1sin(353.7·t)
Ток в цепи при резонансе чисто активный и находится по закону Ома:
I = U/R = 220/1900 ≈ 0.116 (A);
Окончательно, переходя к амплитудному значению тока
I=0.116√2·sin(353.7·t) ≈ 0.164sin(353.7·t)

Расчет токов и напряжений в режиме, отличном от резонансного, насколько я знаю, в школах не проходят, поэтому я также не буду его делать для частоты 50 Гц.