Как изменится средняя скорость движения отдельной молекулы газа при понижении температуры

Молекулы газа при своем движении постоянно сталкиваются. Скорость каждой молекулы при столкновении изменяется. Она может возрастать и убывать. Однако среднеквадратичная скорость остается неизменной. Это объясняется тем, что в газе, находящемся при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Скорость отдельной молекулы с течением времени может меняться, однако доля молекул со скоростями в некотором интервале скоростей остается неизменной.

Нельзя ставить вопрос: сколько молекул обладает определенной скоростью. Дело в том, что, хоть число молекул очень велико в любом даже малом объеме, но количество значений скорости сколь угодно велико (как чисел в последовательном ряде), и может случиться, что ни одна молекула не обладает заданной скоростью.

 
Рис. 3.3

Задачу о распределении молекул по скоростям следует сформулировать следующим образом. Пусть в единице объема nмолекул. Какая доля молекул  имеет скорости от v1 до v1 + Δv? Это статистическая задача.

Основываясь на опыте Штерна, можно ожидать, что наибольшее число молекул будут иметь какую-то среднюю скорость, а доля быстрых и медленных молекул не очень велика. Необходимые измерения показали, что доля молекул , отнесенная к интервалу скорости Δv, т.е. , имеет вид, показанный на рис. 3.3. Максвелл в 1859 г. теоретически на основании теории вероятности определил эту функцию. С тех пор она называется функцией распределения молекул по скоростям или законом Максвелла.

Аналитически она выражается формулой

,где m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана.

Установление этой зависимости позволило определить кроме уже известной среднеквадратичной скорости еще две характерные скорости – среднюю и наиболее вероятную. Средняя скорость – это сумма скоростей всех молекул, деленная на общее число всех молекул в единице объема.

Средняя скорость, подсчитанная на основании закона Максвелла, выражается формулой

или.Наиболее вероятная скорость – это скорость, вблизи которой на единичный интервал скоростей приходится наибольшее число молекул. Она рассчитывается по формуле:.Сопоставляя все три скорости:

1) наиболее вероятную ,

2) среднюю ,

3) среднюю квадратичную , – видим, что наименьшей из них является наиболее вероятная, а наибольшей – средняя квадратичная. Относительное число быстрых и медленных молекул мало (рис. 3.4).

 
Рис. 3.4

При изменении температуры газа будут изменяться скорости движения всех молекул, а, следовательно, и наиболее вероятная скорость. Поэтому максимум кривой будет смещаться вправо при повышении температуры и влево при понижении температуры. Высота максимума не будет оставаться постоянной. Дело в том, что площадь заштрихованной фигуры численно равна доле  общего числа молекул n, которую образуют молекулы со скоростями в указанном интервале. Общая площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс (скоростей), таким образом, равна единице и не меняется при изменении температуры (рис. 3.5). Поэтому высота максимума и меняется при изменении температуры.

 
Рис. 3.5

Кривые распределения молекул по скоростям начинаются в начале координат, асимптотически приближаются к оси абсцисс при бесконечно больших скоростях. Слева от максимума кривые идут круче, чем справа. То, что кривая распределения начинается в начале координат, означает, что неподвижных молекул в газе нет. Из того, что кривая асимптотически приближается к оси абсцисс при бесконечно больших скоростях, следует, что молекул с очень большими скоростями мало. Это легко объяснимо. Для того чтобы молекула могла приобрести при столкновениях очень большую скорость, ей необходимо получить подряд много таких столкновений, при которых она получает энергию, и ни одного столкновения, при котором она ее теряет. А такая ситуация маловероятна.

амплитуда колебания маятника : х0 = 60 мм = 0,06 м

2. период колебания маятника : т = 2,4 сек

3. частота колебаний   ,   гц » 0,42гц

4. длину маятника определяем из формулы   .

,

5.
смещение при фазе   :

х = х0 cos   , х = 0,06 м ´ 0,5 = 0,03 м = 30 мм

точка м на графике соответствует фазе   , а отрезок км – смещению при этой фазе.

 

6. циклическая (или круговая) частота равна

 

,  

7. наибольшее значение скорости вычисляем по формуле:

.

модуль скорости будет наибольшим при   , равном  

®

½n½ = ½2,62 сек-1 ´0,06 м ´(-1)½= ½- 0,157   ½» 16
 

 

8. кинетическая энергия при прохождении маятником положения равновесия

равна

 

для самостоятельной работы:

9. из формулы для пружинного маятника

, находим жесткость
пружины:

 

10. удлинение пружины под действием груза

амплитуда колебания маятника : х0 = 60 мм = 0,06 м

2. период колебания маятника : т = 2,4 сек

3. частота колебаний   ,   гц » 0,42гц

4. длину маятника определяем из формулы   .

,

5.
смещение при фазе   :

х = х0 cos   , х = 0,06 м ´ 0,5 = 0,03 м = 30 мм

точка м на графике соответствует фазе   , а отрезок км – смещению при этой фазе.

 

6. циклическая (или круговая) частота равна

 

,  

7. наибольшее значение скорости вычисляем по формуле:

.

модуль скорости будет наибольшим при   , равном  

®

½n½ = ½2,62 сек-1 ´0,06 м ´(-1)½= ½- 0,157   ½» 16
 

 

8. кинетическая энергия при прохождении маятником положения равновесия

равна

 

для самостоятельной работы:

9. из формулы для пружинного маятника

, находим жесткость
пружины:

 

10. удлинение пружины под действием груза