Решить по чтобы разогнать в глубоком космосе космическую станцию массой 10000 кг до скорости 2 км/c, надо запастись 1000 кг горючего. какое минимальное количества m кг топлива потребуется, чтобы сообщить космической станции массой в n кг скорость 2 км/с, а затем затормозить её до скорости 1 км/c? ответ дайте в килограммах с точностью до 20 кг.

Да, конечно это не школьный курс!

Запишем уравнение Циолковского: Δv = I * ln(M₁ / M₂)

I - удельный импульс, отношение тяги двигателя к секундному расходу топлива

М₁ - начальная масса летательного аппарата, вместе с топливом

М₂ - конечная масса летательного аппарата (без топлива)

Δv - изменение скорости летательного аппарата

v = I * ln((M + N) / M) => I = ln((M + N) / M) / v

I = ln((1000 кг + 10000 кг) / 10000 кг) / 2000 м/с ≈ 2,10*10⁴ Н*с/кг

Разгон

ln((M₁ + N) / N) = v / I

ln((M₁ + N) / N) = 2*10³ / 2,1*10⁴ ≈ 0,0952

(M₁ + N) / N = e⁰,⁰⁹⁵² ≈ 1,100

M₁ +N = 1,100*N => M₁ = 0,100*N - топливо на разгон

Торможение

Δv = I * ㏑((M₂ + N) / N)

Δv = 1*10³ м/с - 2*10³ м/с = - 1*10³ м/с

используем |Δv| = 1*10³ м/с

㏑((M₂ + N) / N) = 1*10³ / 2,1*10⁴ ≈ 0,0476

(M₂ + N) / N = e⁰,⁰⁴⁷⁶ ≈ 1,049

M₂ = 0,049*N

M = M₁ + M₂ = 0,100*N + 0,049*N = 0,149*N

N = 10000 кг => М = 0,149 * 10000 = 1490 кг ≈ 1500 кг

Куб со стороной l=10 см=0,1м.
Давление P=5 кПа.
Объём полости V0-?
Давление равно силе, делённой на площадь P=F/S. В данном случае это сила тяжести F=mg; площадь равна S=l^2; 
Получаем формулу для давления P=mg/l^2; масса равна плотности, умноженной на объём m=pV1, где V1 - объём меди в полом кубе.
P=pV1g/l^2; отсюда находим имеющийся объём меди в этом кубе:
V1=(P*l^2)/(pg);
Объём полости равен разности объёма целого куба и объёма меди.
V0=V-V1;
V0=l^3-(P*l^2)/(pg);
V0=0.001-(5000*0.01)/(8900*10);
V0=(10^-3) - 5.62*10^-4;
V0=4.38*10^-6 м^3;
V0=438 см^3

Грузоподъемность плота при полном погружении бревен в воду определяется формулой:

            P(н) = (ρ₁ - ρ₂)gV, где

                       Р(н) - вес полезной нагрузки, Н

                       ρ₁ = 1000 кг/м³  - плотность воды

                       ρ₂ - плотность дерева (400 кг/м³ для сосны)

                       g = 9,8 Н/кг - ускорение своб. падения

                       V - объем бревен, м³

Тогда  V = P(н) : ((ρ₁ - ρ₂)g)

Так как 1 дм³ сосны удержать на себе при погружении в воду вес:

               P(н) = (1000 - 400) · 10 · 0,001 = 6 (Н)

а, по условию, плот должен удержать вес груза  19,6 Н,    

то объем дерева для выполнения условия должен быть чуть больше 3 дм³. Учитывая площадь поперечного сечения бревна с диаметром 30 см:

           S = πR² = 706,5 см²,

для получения указанного объема в 3 дм³ = 3000 см³ достаточно будет одного бревна, длиной 4,5 см, - очевидно, что ни о каком "плоте из 10 бревен, диаметром 30 см" речь идти не может..)) Плотом из бревен, в любом случае, может называться только та конструкция, у которой длина бревен значительно превосходит их диаметр.

Поэтому исходим из того, что плот должен выдержать груз массой не 2 кг, а 2000 кг.

Вес такого груза:  P(н) = mg = 2000 · 9,8 = 19 600 (Н)

Тогда объем 10 бревен плота:

           V = 19 600 : 6000 ≈ 3,27 (м³)

Объем одного бревна, соответственно 0,327 м³ = 327 000 см³

Для вычисления длины бревна разделим полученное значение объема на площадь поперечного сечения:

           H = V/S = 327 000 : 706,5 ≈ 463 (см) = 4,63 м

Таким образом, для перевозки груза, массой 2000 кг, необходим плот из 10 сосновых бревен, диаметром 30 см и длиной не менее 463 см. И лучше взять длину с запасом, чтобы перевозимый груз не намок..))