До какой высоты h следует налить однородную жидкость в сосуд, имеющий форму куба со стороной а, чтобы сила давления на дно сосуда было равна силе давления на все её боковые стенки ?

По условию F1=F2

F1=P1*S1=pgh*a^2

F2=P2*S2=pgh\2 * 4a*h=2pgh*a*h

2аh=a^2

h=a\2   ( половина высоты куба)

1)
g=go*(R/(R+h))^2
h=R*(корень( go/g) - 1) =6400 км *(корень( 9,81/1) - 1) = 13645,39 км ~ 13600 км
2)
m*g=m*go*(R/(R+h))^2=m*go*0,9
(R/(R+h))^2=0,9
h=R*(корень( 1/0,9) - 1) =6400 км *(корень( 1/0,9) - 1) =346,1923км ~ 350 км
3)
земля вращается вокруг солнца, период T = 1 год
m*a=mw^2*R=mMG/R^2
w=2*pi/T
mw^2*R=mMG/R^2
w^2=MG/R^3
M=w^2*R^3/G=(2*pi/T)^2*R^3/G=
=(2*pi/(365,25*24*60*60))^2*(1,5*10^8*10^3)^3/(6,67*10^-11) кг = 2,01E+30 кг
4)
g=M*G/R^2
M=g*R^2/G=9,81*(6400000)^2/(6,67*10^-11) кг = 6,02E+24 кг
ro = M/V=g*R^2/G * 3/(4*pi*R^3) =3*g/(4*pi*G*R) =
=3*9,81/(4*pi*6,67*10^-11*6400000)кг/м3 = 5486,237 кг/м3 ~  5,5*10^3кг/м3

Вільне падіння — равноускоренное рух під дією сили тяжіння, при відсутності опору повітря. На поверхні Землі на рівні моря прискорення вільного падіння становить приблизно 9,81 м/с2. 
Зокрема парашутист, протягом кількох перших секунд стрибка, знаходиться практично у вільному падінні. 
Вільне падіння можливо на поверхню будь-якого тіла, що володіє достатньою масою (планети і їх супутники, зірки і т. п.) . 

Прискорення вільного падіння 
Прискорення вільного падіння - прискорення, повідомили вільної матеріальної точки силою тяжіння. 
Прискорення вільного падіння залежить від географічної широти місця і його висоти над рівнем моря. 
Стандартне значення прискорення вільного падіння = 9.80665 м/с-в-кв.