Если участок электрической цепи представляет собой бесконечное число параллельно соединенных сопротивлений, величины которых образуют последовательность: r, qr, > 1), то эквивалентное сопротивление r такой цепи равно. желательно с решением

Попробуем "угадать" решение:
Для одного

1/R₁ = 1/r

Для двух:
1/R₂ = 1 / r + 1/(q*r) 

Для трех:
1/R₃ = 1 / r + 1/(q*r) + 1/ (q²*r) 

 Для n ⁻
1/Rn = 1 / r + 1/(q*r) + 1/ (q²*r) + ... + 1 / (qⁿ⁻¹*r)

Имеем бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем
 (1/q)<1, сумма членов которой:

1/R = b1 / (1-1/q)
R = (1-1/q) / b1 = (1-1/q)*r

Почти доклад с рисунками.

 Как только примерно 400 лет назад физики узнали, что при нагревании вещества и материалы при нагревании изменяют свои размеры, сразу началось применение этого явления.

Наиболее используемые устройства - жидкостные  термометры (Рис. 1 слева). В них жидкость залита в колбу, а шкалой является тонкая трубка. Если для измерения низких температур используют спиртовый термометр (до -70°С), то для более высоких - ртутные. Недостатком таких термометров является низкая прочность стеклянных колб.

В быту также используются и механические термометры. (Рис. 1 справа) В их основе лежит биметаллическая спираль на конце которой закреплена стрелка. Здесь использовано свойство, что у различных материалов разные коэффициенты линейного расширения. Изготовленная сразу из двух слоев металлов  при нагревании начинает изгибаться.

Ещё шире биметаллические пластины используются в устройствах для регулировки (поддержания постоянной) температуры.   Это регуляторы температуры, например, в электроутюгах. Изгибаясь биметаллическая пластина соединяет контакты электрической цепи. Такой же эффект использован в автоматах тока в бытовой электросети. (рис. 2 слева). Проходящий по цепи ток нагревает биметаллическую пластину установленную в механизм с пружиной, который отключает подачу электричества в цепь. Включить такой автомат можно только после его охлаждения.

И, конечно, все мы постоянно пользуемся холодильниками и, иногда, электропечами. В них используются сильфонные механизмы. (Рис. 2 -справа). Запаянная длинная трубка с жидкостью соединена с гибкой коробкой (сильфоном), изменение размеров которой и приводит к замыканию электроконтактов.

Особая проблема температурного расширения метала ощущается на железнодорожных путях.  (Рис. 3). Но вместо устройства стыков примерно через 25 м применяют в местах соединений рельсов длиной 1000 и более метров конструктивное решение - температурный компенсатор.

В машиностроении температурное расширение применяется при горячем прессовании. Например, при соединении колесной пары для поездов. Отверстие в ободе колеса делается незначительно, но меньше диаметра оси. Затем обод нагревают до высокой температуры и быстро прессуют в него "холодную" ось. Соединение получается очень надёжным.

Все очень просто
Пластиковая бутылка  до того как ее наполнили водой заполнена воздухом. Когда ты наливаешь воду в бутылку, молекулы воздуха выходят наружу через горлышко бутылки. 
После того как ты проделал дырку в дне бутылки, вода не выливается из нее, потому что завинченная крышка на бутылке не дает возможность воздуху поступать внутрь бутылки и вытеснять собой воду, т. к. молекулы воды создают поверхностное натяжение, препятствующее проникновению воздуха. 
А когда только ты откручиваешь крышку, воздух начинает поступать в бутылку, вытесняя собой воду, которая выливается через отверстие в дне бутылки.