При охлаждении куска алюминия массой 97 г до температуры 19°C выделилось 8 кДж теплоты. Определи, какой была температура алюминия до охлаждения. Удельная теплоёмкость алюминия равна 920 Дж/(кг·°C ответ (округли до целых):___°C.

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции {\displaystyle (1+x)^{r}} (1+x)^r в ряд Тейлора:

{\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}} (1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k,

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}} {\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}}

При этом ряд

{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...} (1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+

сходится при {\displaystyle |z|\leq 1} |z|\le 1.

В частности, при {\displaystyle z={\frac {1}{m}}} z=\frac{1}{m} и {\displaystyle \alpha =x\cdot m} \alpha=x\cdot m получается тождество

{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+...+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .} \left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n!\; m^n}+\dots.

Переходя к пределу при {\displaystyle m\to \infty } m\to\infty и используя второй замечательный предел {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e} \lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e, выводим тождество

{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,} e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots,

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Дано:

m = 2 кг

t₁ = 100⁰C

t₂ = 0⁰C

Q - ?

1) Водяной пар конденсируется, выделяя количество теплоты:

Q₁ = L·m = 22,6·10⁵· 2 = 4,52·10⁶ Дж

2) Вода, полученная из сконденсировавшего пара выделяет тепло:

Q₂ = c·m·(t₁-t₂) = 4200·2·(100-0)=0,84·10⁶ Дж

3) Суммарное количество теплоты:

Q = Q₁+ Q₂= (4,52·10⁶ +0,84·10⁶) Дж = 5,36·10⁶ Дж   или 5,36 МДж

2)

Здесь рассуждаем следующим образом:

1) Нагреваем лед до температуры плавления (до 0°С)

2) Плавим лед при 0°С

3) Нагреваем получившуюся воду до 100°С

4) Испаряем эту воду.