Плита размером 8 x 0, 9 x 0, 5 м погружена в воду на половину своего объема. Какова архимедова сила, действующая на нее?

Выталкивающая сила, действующая на погруженное в воду тело:

          Fₐ = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ - плотность воды

                                   g = 10 Н/кг - ускорение своб. падения

                                   V - объем погруженной части тела, м³

Объем погруженной части плиты:

           V/2 = 8 · 0,9 · 0,5 : 2 = 1,8 (м³)

Тогда:

            Fₐ = 1000 · 10 · 1,8 = 18000 (H) = 18 кН

Ну нет.
средняя плотность бутылки находится между плотностями материала бутылки и вещества внутри нее. То есть в первом случае - средняя плотность находится между плотностью воды и плотностью стекла (которое тяжелее воды), и она больше плотности воды, в которую погружена.

во втором случае средняя плотность бутылки находится в пределах между плотностью стекла и плотностью ртути, то есть средняя плотность бутылки меньше плотности ртути. - она будет всплывать.

хотя, если бутылка из тяжелого материала, золота например - то и в ртути потонет

Ну нет.
средняя плотность бутылки находится между плотностями материала бутылки и вещества внутри нее. То есть в первом случае - средняя плотность находится между плотностью воды и плотностью стекла (которое тяжелее воды), и она больше плотности воды, в которую погружена.

во втором случае средняя плотность бутылки находится в пределах между плотностью стекла и плотностью ртути, то есть средняя плотность бутылки меньше плотности ртути. - она будет всплывать.

хотя, если бутылка из тяжелого материала, золота например - то и в ртути потонет