Шар массой m, движущийся со скоростью v1=8 м/с, налетает на покоящийся шар массой 3m. В результате центрального упругого удара шар меньшей массы стал двигаться в противоположном направлении, потеряв при ударе 3/4 своей кинетической энергии. Найдите скорость (в метрах в секунду) шара массой 3m после удара.

при воздействии мвтелного шара

Для решения данной задачи будем использовать законы сохранения импульса и энергии.

1. Закон сохранения импульса:
До удара: mv1 = mv2 + 3mv3
Где v1 - скорость меньшего шара до удара, v2 - скорость меньшего шара после удара, v3 - скорость большего шара после удара.

2. Закон сохранения энергии:
До удара: (1/2)mv1^2 = (1/2)mv2^2 + (1/2)(3m)v3^2

Мы знаем, что меньший шар потерял 3/4 своей кинетической энергии. Это означает, что его исходная кинетическая энергия равна (1/4) от его кинетической энергии после удара.
Тогда, (1/2)mv1^2 = (1/2)(1/4)mv2^2 + (1/2)(3m)v3^2
mv1^2 = (1/4)mv2^2 + (3/2)mv3^2

Теперь у нас есть две уравнения с двумя неизвестными (v2 и v3), которые можно решить.

Давайте разберемся с уравнением сохранения импульса.

mv1 = mv2 + 3mv3
mv2 = mv1 - 3mv3

Теперь подставим это в уравнение сохранения энергии.

mv1^2 = (1/4)mv2^2 + (3/2)mv3^2
mv1^2 = (1/4)(mv1 - 3mv3)^2 + (3/2)mv3^2
mv1^2 = (1/4)(m^2v1^2 - 6m^2v1v3 + 9m^2v3^2) + (3/2)mv3^2
Упростим выражение:

mv1^2 = (1/4)m^2v1^2 - (3/2)m^2v1v3 + (9/4)m^2v3^2 + (3/2)mv3^2

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

0 = (1/4)m^2v1^2 - (3/2)m^2v1v3 + (9/4)m^2v3^2 + (3/2)mv3^2 - mv1^2

Упростим:

0 = (1/4)m^2v1^2 - (3/2)m^2v1v3 + (9/4)m^2v3^2 + (3/2)mv3^2 - mv1^2
0 = (1/4)m^2v1^2 - (3/2)m^2v1v3 + (9/4)m^2v3^2 + (3/2)mv3^2 - 4mv1^2
0 = (1/4)m^2v1^2 - (3/2)m^2v1v3 + (9/4)m^2v3^2 + (3/2)mv3^2 - (4mv1^2)(4/4)
0 = (1/4)m^2v1^2 - (3/2)m^2v1v3 + (9/4)m^2v3^2 + (3/2)mv3^2 - (16mv1^2)/(4)
0 = (1/4)m^2v1^2 - (3/2)m^2v1v3 + (9/4)m^2v3^2 + (12mv3^2 - 16mv1^2)/(4)

Упростим еще:

0 = (1/4)m^2v1^2 - (3/2)m^2v1v3 + (9/4)m^2v3^2 + (12mv3^2 - 16mv1^2)/(4)
0 = (1/4)m^2v1^2 - (3/2)m^2v1v3 + (9/4)m^2v3^2 + ((12mv3^2 - 16mv1^2)/(4)) *(4/3)
0 = (1/4)m^2v1^2 - (3/2)m^2v1v3 + (9/4)m^2v3^2 + (3mv3^2 - 4mv1^2)/(3)

Общая формула такого вида: a^2 - ab + b^2 = (a - b)^2 + ab
Применим ее:

0 = ((1/2)m^2v1 - (3/2)mv3)^2 + (3mv3^2 - 4mv1^2)/(3)

Перенесем оставшиеся слагаемые на другую сторону:

0 - ((3mv3^2 - 4mv1^2)/(3)) = ((1/2)m^2v1 - (3/2)mv3)^2

(3mv3^2 - 4mv1^2)/(3) = ((1/2)m^2v1 - (3/2)mv3)^2

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы устранить дробь:

3(3mv3^2 - 4mv1^2)/(3) = 3((1/2)m^2v1 - (3/2)mv3)^2

3mv3^2 - 4mv1^2 = 9((1/2)m^2v1 - (3/2)mv3)^2

3mv3^2 - 4mv1^2 = 9(1/4)m^4v1^2 - 9m^3v1v3 + 9(9/4)m^2v3^2

Упростим:

3mv3^2 - 4mv1^2 = (9/4)m^4v1^2 - (27/2)m^3v1v3 + (81/4)m^2v3^2

Поделим обе части уравнения на m и упростим:

3v3^2 - 4v1^2 = (9/4)m^3v1^2 - (27/2)m^2v1v3 + (81/4)mv3^2

Теперь мы имеем уравнение, в котором больше нет неизвестной m. Его можно решить, взяв энергетическое выражение и выразив v3 через v1.

3v3^2 - 4v1^2 = (9/4)v1^2 - (27/2)v1v3 + (81/4)v3^2

Перенесем все члены с v3 на одну сторону:

3v3^2 - (81/4)v3^2 + (27/2)v1v3 - (9/4)v1^2 = 0

Сократим дроби:

12v3^2 - 81v3^2 + 54v1v3 - 9v1^2 = 0

Вынесем общий множитель v3^2 за скобки:

(12 - 81)v3^2 + 54v1v3 - 9v1^2 = 0

-69v3^2 + 54v1v3 - 9v1^2 = 0

Разделим все члены уравнения на 3, чтобы упростить его:

-23v3^2 + 18v1v3 - 3v1^2 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить методом квадратного уравнения:

v3 = [ -18v1 ± √((18v1)^2 - 4(-23)(-3v1^2)) ] / (2(-23))

v3 = [ -18v1 ± √(324v1^2 - 4(-23)(-3v1^2)) ] / (-46)

v3 = [ -18v1 ± √(324v1^2 - 4(69v1^2)) ] / (-46)

v3 = [ -18v1 ± √(324v1^2 + 276v1^2) ] / (-46)

v3 = [ -18v1 ± √(600v1^2) ] / (-46)

v3 = [ -18v1 ± 20v1 ] / (-46)

Вариант 1: v3 = (-18v1 - 20v1) / (-46)
v3 = (-38v1) / (-46)
v3 = (19v1) / (23)

Вариант 2: v3 = (-18v1 + 20v1) / (-46)
v3 = (2v1) / (-46)
v3 = - (v1) / (23)

Таким образом, скорость шара массой 3m после удара может быть (1) v3 = (19v1) / (23) или (2) v3 = - (v1) / (23).

Обратите внимание, что ответ представлен в виде уравнения, зависящего от известной величины v1. Чтобы получить численное значение, необходимо знать конкретное значение v1. Если изначально задано значение v1, можно подставить его в уравнение и найти скорость v3 после удара.