Газ переходит из состояния 1 в состояние 2. В каком случае (см. Рисунки) он выполняет самую работу?

Разумеется, равновесие нарушится.
Выталкивающая сила, действующая на цилиндры, зависит от величины объема цилиндров и не зависит от их массы.
 ρ = 1000 кг/м³ - плотность воды
ρ₁ = 7000 кг/м³ - плотность чугуна
ρ₂ = 2700 кг/м³ - плотность алюминия

Так как
              Fa₁ = ρgV₁  и  Fa₂ = ρgV₂, то: Fa₁/Fa₂ = ρgV₁/ρgV₂ = V₁/V₂
Учитывая:
                 V₁ = m/ρ₁ и V₂ = m/ρ₂, получим: 
                 Fa₁/Fa₂ = ρ₂/ρ₁ = 2700/7000 ≈ 0,39
                 Fa₁ = 0,39*Fa₂
Тогда на плечо весов с чугунным цилиндром при погружении в воду действует сила:
                            F₁ = mg - Fa₁ = mg - 0,39*Fa₂
На плечо весов с алюминиевым цилиндром при погружении в воду действует сила:
                           F₂ = mg - Fa₂
Так как
                           F₁ - F₂ = mg - 0,39*Fa₂ - mg + Fa₂ = 0,61*Fa₂, то
плечо весов с чугунным цилиндром перевесит.