Шарик соскальзывает без трения по наклонному желобу, образующему «мертвую петлю» радиусом r. с какой высоты h шарик должен начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке петли?

В  верхней    точке    петли потенциальная энергия шарика, движущегося с высоты h, превращается в кинетическую энергию - движения и потенциальную - положения. mgh =(mv^2)/2 + mg2r. разделив на mg, получим: h = v^2/2g + 2r. а скорость определим из условия равенства силы тяжести и инерции. mg = (mv^2)/r. откуда v^2 = rg. тогда h = rg/2g + 2r = 5/2 r.

На сложение векторов. скорость пловца относительно бергега равна векторной сумме скорости его относительно воды и скорости течения. если считать, что пловец пытается плыть поперек реки, то течение будет его "сносить", скорости его и течения будут складываться так, как показано на рисунке. в данном случае мы получаем прямоугольный треугольник и длина вектора скорости относительно берега   км/ч это мы модуль вектора скорости определили. ну если поизгаляться или просто условия (преподаватель) того требуют, можно и угол (относительно других векторов или координатных осей) вектора определить, определить, так сказать его направление. еще может быть что треугольник получится не прямоугольный, в этом случае сразу прямо или косвенно должен быть задан угол между векторами.

Это на преобразование кинетической энергии. скорость груза в конце падения v =  √(2gh) =  √(2*10*10) =  √200 м/с. кинетическая энергия ак = mv² / 2 = 10*200 / 2 = 1000 кг*м²/с². из уравнения ак = f*s, определяем s = ak / f = 1000 / 2000 = 0,5 м. в этом решении есть 2 : - высота падения не ровно 10 м, а 10-0,5 = 9,5 м, - ускорение свободного падения не ровно 10 м/с², а около 9,81 м/с². кроме того, процесс движения стержня в грунт не может быть линейным, то есть сопротивление стержня имеет сложную зависимость от скорости его движения.