Две окружности с центрами о1 и о2 касаются в точке о. отрезок ав делится точкой о пополам. докажите, что данные окружности симметричны относительно точки о.

Проведём высоту BH1 и рассмотрим треугольники ΔABH1 и ΔCDH

1) CD = AB (по условию)

2) ∠A = ∠В (по условию)

3) ∠AH1B = ∠CHD = 90°

⇒ ΔABH1 = ΔCDH ⇒ AH1 = DH

Рассмотрим ΔCDH

т.к HD лежит напротив ∠DCH = 30 ⇒ HD = CD /2

HD = 10 / 2 = 5 см

AH1 = DH = 5 см

Рассмотрим BCHH1 - прямоугольник, т.к BH1H = CHH1 = 90°

По свойству прямоугольника: BC = HH1 = 6 см

AD = AH1 + HH1 + HD

AD = 5 + 5 + 6 = 16 см

т.к MN - средняя линия, то MN = 1/2 * AD

MN = 1/2 * 16 = 8 см

Рассмотрим ∠D и ∠A

∠D = ∠A = 90° - ∠C

∠D = ∠A = 90 - 30 = 60°

Рассмотрим BC и AD

BC ║ AD (AB и CD секущие) ⇒

∠A + ∠B = 180 (односторонние углы)

∠B = 180 - ∠A

∠B = 180 - 60 = 120°

∠C + ∠D = 180 (односторонние углы)

∠C = 180 - ∠D

∠C = 180 - 60 = 120°

ответ: MN = 8 см, ∠A = ∠D = 60°, ∠D = ∠C = 120°

Известно, что  диагонали прямоугольника  равны  и точкой пересечения делятся пополам.  нарисуем прямоугольник авсд, проведем в нем диагонали. точку пересечения диагоналей обозначим о. проведем ое перпендикулярно вд. соединим в и е. в треугольнике вед во=од по построению. ое   в нем  медиана и высота.  треугольник вед - равнобедренный  рассмотрим прямоугольный треугольник аве ве=2ае   ( из равенства ве=ед) синус угла аве=а: 2а=0,5, отсюда следует что угол равен 30° второй угол, на который диагональ вд поделила угол авс, равен угол све= 90°- 30°= 60° остальные углы прямоугольника делятся диагоналями также на углы  30°  и  60° .