Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12см, а боковое ребро составляет с основанием угол 45 градусов. найдите площадь полной поверхности пирамиды

вся сложность - сосчитать площадь трапеции. эта трапеция может быть разрезана на два пифагоровых треугольника и параллелограмм, и у всех будет общая (одна и та же) высота, равная высоте трапеции.

если взять прямоугольный треугольник со сторонами (8, 15, 17) и приставить к нему другой прямоугольный треугольник - со сторонами (15, 20, 25), так, чтобы катеты 15 совпали, а катеты 8 и 20 были бы продолжением друг друга, то получится непрямоугольный треугольник со сторонами (17, 25, 28), у которого высота к стороне 25, само собой, равна 15. 

теперь надо продлить сторону 28 этого треугольника за вершину, общую для сторон 25   и 28, на 16, и из этой точки провести прямую ii стороне 25, и из вершины (треугольника), общей для сторон 17 и 25, провести прямую ii стороне 28. то есть - "пристроить" к треугольнику (17, 25, 28) параллелограмм со сторонами 16 и 25 и высотой - тоже 15 : ).

поскольку 28 + 16 = 44, то получилась заданная в трепеция. у которой высота определилась сама собой - она равна 15.

отсюда площадь трапеции 15*(44 + 16)/2 = 450,

а объем призмы 450*5 = 2250 

 

конечно, есть тупые способы сосчитать площадь трапеции по каким-то формулам - например, отрезав от трапеции треугольник (17,25,28) (это делается линией, параллельной боковой стороне 25, через вершину, общую для боковой стороны 17 и основания 16), сосчитать его площадь по формуле герона (получится 210), и отсюда найти высоту (к стороне 28) - она будет 15, само собой.. есть и формула, аналогичная формуле герона, сразу для если не лень - можете все это сделать самостоятельно. ответ будет тот же.

  известно, что сумма двух любых сторон треугольника a+b всегда больше третьей с  a+b> c  представим это в виде:   a+b-c> 0  добавим к обеим частям неравенства 2с:   a+b-c+2c> 2c  a+b+c> 2c  (a+b+c)/2> c  поскольку в качестве a, b и с мы выбирали любые стороны треугольника, то значит верны и неравенства:   (a+b+c)/2> а  (a+b+c)/2> b  что и требовалось доказать. полупериметр треугольника всегда больше любой его стороны, и любая сторона треугольника всегда меньше его полупериметра.